Análise Matemática III, Outono 2002

para alunos de LEAB, LEB, LEMat, LEMG, LEN, LEQ, LQ

(Eng. Ambiente, Eng. Biológica, Eng. Materiais, Eng. Minas e Georrecursos, Eng. Naval, Eng. Química, Lic. Química)

Responsável: Ana Cannas da Silva
Email: acannas@math.ist.utl.pt
Gabinete: 4.09 do Edifício de Pós-Graduação (piso 4), extensão 1113 (tel. 218 417 113)
Monitores: João Leonardo (jleon@math.ist.utl.pt) e Tiago Pestana da Silva (tsilva@math.ist.utl.pt)

Aulas teóricas: 2 ^as, 3^as e 6^as feiras, 13-14h, nas salas GA4, VA3 e GA3
Aulas práticas: 2^as, 14-16h, V113; 3^as, 11-13h, F6; 3^as, 11-13h, F2; 4^as, 11-13h, V137; 5^as, 12-14h, V135; 5^as, 12-14h, V114

Horário de dúvidas: por favor ver as sessões durante a época de exames anunciadas nos avisos em baixo; outros horários de dúvidas de AMIII
Sala de dúvidas: cave 02 do Edifício de Pós-Graduação
Vitrina da cadeira: frente ao bar no rés-do-chão do Pavilhão Central

Avisos:

A nota do aluno nº 35176 não foi lançada pois este número não constava na pauta oficial;
este aluno deve dirigir-se à secretaria para regularizar a sua situação

As NOTAS FINAIS (após a revisão de provas do 2º exame) estão afixadas em baixo;
foram enviadas para a secretaria na tarde de 17 de Fevereiro

Enunciado do 2º exame (29/Janeiro/2003), em ficheiro PostScript ou PDF

Não será aqui afixada a resolução do 2º exame

Todas as fichas corrigidas não reclamadas podem ser levantadas no gabinete
da professora responsável (4.09 do Edifício de Pós-Graduação)

Pautas:

Links para as PAUTAS FINAIS (após a revisão de provas de 5/Fev)

Eng. Ambiente

Eng. Biológica

Eng. Materiais

Eng. Minas e Georrecursos

Eng. Naval

Eng. Química

Lic. Química

Eng. Ambiente
Eng. Biológica
Eng. Materiais
Eng. Minas e Georrecursos
Eng. Naval
Eng. Química
Lic. Química

Materiais da cadeira:

Anúncio em ficheiro PostScript ou PDF (contém o programa, a bibliografia e as regras da avaliação)

Textos de apoio em formato PDF (versão de 26/7/02) por Gabriel Pires:

Intervalos. Partições. Funções em Escada

Conjuntos de Medida Nula

Funções Limite Superior. Funções Integráveis

Teorema de Fubini. Cálculo de Volumes

Teorema da Mudança de Coordenadas

Integrais de Linha

Teorema de Green no Plano

Teorema da Função Inversa

Teorema da Função Implícita. Variedades

Teorema da Divergência

Teorema de Stokes

Complementos de Cálculo Integral

Sumários das aulas teóricas

Fichas de exercícios: (plano provisório)

Exercícios para avaliação	Data limite para avaliação: entregar até à aula teórica de...	Resolução	Exercícios suplementares (não são para entregar)
Ficha 1 em PostScript ou PDF	6ª feira, 27 de Setembro	em PostScript ou PDF	Esboço de conjuntos, Medida e conteúdo nulos, Funções em escada
Ficha 2 em PostScript ou PDF	6ª feira, 11 de Outubro	em PostScript ou PDF	Funções lim sup e integráveis, Teorema de Fubini
Ficha 3 em PostScript ou PDF	6ª feira, 25 de Outubro	em PostScript ou PDF actualizada 29/Out	Mudança de variáveis de integração, Cálculo de integrais de linha
Ficha 4 em PostScript ou PDF (2 páginas)	6ª feira, 15 de Novembro	em PostScript ou PDF	Teoremas para integrais de linha Teoremas TFI's
Ficha 5 em PostScript ou PDF	6ª feira, 29 de Novembro	em PostScript ou PDF	Variedades e multipl. de Lagrange Integrais em variedades Teorema da divergência
Ficha 6 em PostScript ou PDF	6ª feira, 13 de Dezembro	em PostScript ou PDF	Teorema de Stokes Aplicações Complementos de cálculo integral

As fichas de exercícios e outros materiais vão sendo incluídos nesta página ao longo do semestre.

Exercícios resolvidos coligidos por Gabriel Pires
Enunciado do 1º teste para praticar (teste de 10/Novembro/2001) com soluções, em ficheiro PostScript ou PDF
Enunciado do 1º teste (9/Novembro/2002), em ficheiro PostScript ou PDF e sua resolução, em ficheiro PostScript ou PDF
Enunciado do exercício-teste-surpresa (aula teórica de 15/Novembro) que substituiu, para efeitos de avaliação, a ficha 4,
em ficheiro PostScript ou PDF
e sua resolução em ficheiro PostScript ou PDF
Enunciado do 1º exame e 2º teste para praticar (prova de 11/Janeiro/2002), em ficheiro PostScript ou PDF
e respectiva solução, em ficheiro PostScript ou PDF
Enunciado do 2º teste / 1º exame com resolução (15/Janeiro/2003),
em ficheiro PostScript ou PDF (2 páginas de exame seguidas de 2 páginas de respostas sumárias)
Outros materiais de apoio:
- provas de avaliação antigas reunidas por João Pimentel Nunes
- resoluções de exercícios-tipo e exercícios-teste organizados por João Pimentel Nunes
- exercícios de cálculo diferencial e integral preparados por João Palhoto Matos et al.

Se tiver dificuldades em processar ou aceder a documentos em formatos PostScript ou PDF click aqui.
(Os ficheiros PDF são legíveis com Acrobat Reader que se pode obter grátis de Adobe Systems para um grande número de sistemas operativos.)

Objectivo:

$\begin{displaymath}\int_{\partial M} \omega = \int_M d \omega \end{displaymath}$
Cálculo integral de campos escalares e vectoriais em Rⁿ e em variedades em Rⁿ,
com vista ao teorema de Stokes e à formulação das equações da Mecânica e do Electromagnetismo.

Programa:


Parte I Integrais em Rⁿ (16 Setembro - 11 Outubro)
Semana 1 Intervalos em Rⁿ, partições, compactos; integrais de funções em escada
Semana 2 Revisão do integral de Riemann em R conteúdo nulo e medida nula
Semana 3 Funções limite superior, funções integráveis; integrais iterados, teorema de Fubini
Semana 4 Cálculos de volumes, etc.; mudança de coordenadas, exemplos

Parte II Curvas e integrais de linha (14-31 Outubro)
Semana 5 Caminhos, comprimento, integrais de linha de campos escalares, aplicações
Semana 6 Integrais de linha de campos vectoriais; trabalho de uma força
Semana 7 Campos gradientes, potenciais, campos fechados, homotopia, teorema de Green

Parte III Variedades (4-15 Novembro)
Semana 8 Teorema da função inversa, teorema da função implícita
Semana 9 Variedade, parametrizações, espaço tangente; extremos condicionados

Parte IV Integrais em variedades (18 Novembro - 6 Dezembro)
Semana 10 Integrais em variedades, caso de superfícies em R³, aplicações
Semana 11 Domínios regulares, normal exterior; teorema da divergência, interpretação física
Semana 12 Orientabilidade de superfícies em R³; teorema de Stokes

Parte V Aplicações e complementos (9-20 Dezembro)
Semana 13 Divergência, rotacional e gradiente, propriedades e interpretação; equações de Maxwell
Semana 14 Integrais de funções ilimitadas e/ou em regiões ilimitadas, teoremas de convergência

Bibliografia:

T. Apostol, Calculus, volume II, John Wiley & Sons, Inc., 1969.
T. Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Co., 1974.
W. Fleming, Functions of Several Variables, Springer-Verlag, 1977.
L. Magalhães, Complementos de Cálculo Diferencial, AEIST, 1984.
L. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Editora, 1993.
L. Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Editora, 1996.
[texto principal] G. Pires, textos de apoio para Análise Matemática III, disponíveis acima.
M. Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, Inc., 1965.

Avaliação:

TESTES E EXAMES
A nota dos testes ou exames é, consoante a opção de cada aluno:

ou a média das notas dos dois testes, com cada teste a contribuir 50%, desde que a nota de cada teste não seja inferior a 8,
ou a nota do exame final.

FICHAS E AULAS PRÁTICAS
A nota prática é a soma das cinco melhores notas nas fichas de exercícios. A nota com avaliação contínua é a média da nota dos testes ou exames com peso 70%, e da nota prática com peso 30%, subindo no máximo dois valores a nota dos testes ou exames.
APROVAÇÃO NA CADEIRA
A nota final é a maior de entre:

a nota dos testes ou exames, e
a nota com avaliação contínua.
A nota mínima de passagem é 10.
ORAIS
Qualquer nota final superior a 17 tem que ser defendida numa prova oral a combinar com a responsável pela cadeira no final do período de exames; se não for defendida, uma tal nota passa a 17.

Fichas de exercícios e aulas práticas:

Os alunos devem-se inscrever durante a primeira semana de aulas preenchendo uma ficha e fornecendo uma fotografia (original ou boa fotocópia).
Há ao todo 6 fichas de exercícios distribuídas e recolhidas quinzenalmente nas aulas teóricas das 6^as feiras. As fichas nunca podem ser entregues em atraso.
A discussão dos exercícios em grupos nas aulas práticas e fora delas é encorajada. No entanto o trabalho entregue deve ser individual e pode ser sujeito a discussão oral.
A resolução de cada ficha deve ser apresentada em folhas agrafadas, todas bem identificadas e indicando no cabeçalho da primeira folha o nº da ficha, o nº da turma, o nome do aluno e o nº de aluno.
Cada ficha é composta por até 10 exercícios de dificuldade não superior a problemas de exame ou teste. Apenas um desses exercícios (não especificado previamente) é corrigido e avaliado com uma nota de 0 a 4.
Para efeitos de avaliação, uma das fichas é substituída por um exercício teste-surpresa a realizar numa das aulas teóricas em que esteja prevista a entrega dessa ficha (27/Set., 11/Out., 25/Out., 15/Nov., 29/Nov. ou 13/Dez.).
As fichas corrigidas são devolvidas nas aulas práticas junto com uma breve solução. Ao receber cada ficha corrigida, o aluno deve conferir logo a correcção; as notas de fichas não podem ser revistas após a aula em que são devolvidas.
A nota de cada ficha é a nota da correcção rectificada de acordo com o desempenho observado nas aulas práticas e com a eventual discussão do trabalho entregue. A não comparência a mais de metade das aulas práticas anula a avaliação contínua.
As aulas práticas permitem: complementar a exposição das aulas teóricas, trabalhar em grupo, discutir dúvidas, orientar o desempenho na cadeira, adiantar a resolução das fichas e demonstrar a evolução dos conhecimentos para avaliação.

Testes e exames:

Há duas datas de exame, um primeiro teste no Sábado, dia 9 de Novembro, de manhã e um segundo teste na data do primeiro exame. Os exames têm a duração de 3 horas e os testes duram hora e meia.
Matéria para o primeiro teste: partes I-II do programa.
Matéria para o segundo teste: partes III-V do programa.
É obrigatória a inscrição para os testes ou exames a que o aluno deseje comparecer. As inscrições são efectuadas junto ao gabinete do Sr. Carvalhosa frente aos elevadores no piso 2 do Edifício de Pós-Graduação até dois dias úteis antes da prova.
As inscrições para o 2º teste e para o 1º exame são conjuntas, podendo cada aluno decidir durante essas provas (a realizar em simultâneo) qual a que prefere entregar.
Os alunos só podem apresentar-se a provas munidos de identificação válida: cartão de aluno do IST ou bilhete de identidade.
Nos testes ou exames não é permitido utilizar máquinas calculadoras nem quaisquer materiais de consulta.
Um aluno que tenha obtido aprovação com o primeiro exame ou com os testes pode comparecer ao segundo exame para melhoria de nota.

Links para:

Outras páginas de Análise Matemática III no Outono de 2002:
- Para os cursos de Aeroespacial, Biomédica, Ciên. Informáticas, Física e Matemática (Responsável: Pedro Ferreira dos Santos)
- Para os cursos de Civil, Electrotecnia, Gestão e Território (Co-Responsáveis: João Pimentel Nunes e Rui Loja Fernandes)
- Para o curso de Eng. Informática (Responsável: Leonor Godinho)
- Para o curso de Mecânica (Responsável: Sílvia Anjos)
Páginas de arquivo de Análise Matemática III:
- Arquivo do departamento de Matemática
- Arquivo de Análise Matemática III por Gabriel Pires
Biblioteca
Secretaria
SOP (horários, etc.)
Regulamento e calendário para 2002/2003

Última actualização: 19 de Fevereiro de 2003