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modif.: 13 Fev. 2004            ____
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


Análise Numérica II

Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação
1º Semestre de 2003/2004

Professor responsável: Carlos J. S. Alves
 
Programa

I. Aproximação de funções
1.  Interpolação
   1.1. Interpolação polinomial
    Fórmulas de Lagrange e de Newton.
            Interpolação de Hermite.
            Erro de interpolação. Nós de Chebyshev.
            Convergência da interpolação.
    1.2. Interpolação trigonométrica
    Fórmula de Lagrange.
            Relação com a transformação de Fourier discreta.
    1.3. Interpolação por splines
2. Melhor aproximação em espaços normados
    2.1. Melhor aproximação em espaços pré-Hilbertianos
            Método dos mínimos quadrados.
            Polinómios ortogonais
    2.2. Melhor aproximação uniforme
 

II. Representação aproximada de funcionais lineares.
     Diferenciação e integração numéricas.
1. Representações exactas sobre polinómios
    1.1. Fórmulas de diferenciação numérica
    1.2. Fórmulas de integração numérica
            Fórmulas de Newton-Cotes
            Convergência das fórmulas de integração
            Fórmulas de Gauss
2. Representações exactas sobre splines
            Fórmulas de integração compostas

III. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias
1. Problemas de valor inicial
    1.1. Métodos de passo simples
    1.2. Métodos de passo múltiplo
    1.3. Erro de discretização
            Consistência e estabilidade
            Convergência e ordem
2. Problemas de valor na fronteira
    2.1. Métodos de diferenças finitas (breve referência)
    2.2. Métodos de elementos finitos (breve referência)
 

Bibliografia

  •  R. Kress, Numerical Analysis, Springer-Verlag, 1998.
  •  M. Crouzeix & A.L. Mignot, Analyse Numérique des Équations Differentielles, (2e ed.), Masson, 1989.
  •  M. Atteia & M. Pradel , Elements d'Analyse Numérique, Cepadues-Editions, 1990.
  •  T. Diogo, Notas de Análise Numérica, AEIST, Secção de Folhas, 1996/1997.
  •  J. M. Ortega, Numerical Analysis: a second course, Classics in Applied Mathematics; Vol. 3, SIAM, 1990.
  •  A. Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics, TAMS 37, Springer Verlag, 2000.
  •  K. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, ( 2nd ed.), Wiley, 1980.
  •  J. Stoer & R. Bulirsch, Introduction to Numerical Mathematics, ( 2nd ed.), Springer Texts in Appl. Math., 1993.

  •  
  • Outros elementos de apoio:

  • - C. J. S. Alves:Resumo da matéria teórica - LEFT (2001)
        (ver interpolação polinomial, método dos mínimos quadrados,
        integração numérica, métodos para problemas de valores iniciais).

    Avaliação

    A avaliação consistirá num exame final (70%) e em 3 trabalhos computacionais (30%).
    Datas previstas para os trabalhos computacionais:
    1º trabalho: 8 a 22 de Outubro
    2º trabalho: 4 a 18 de Novembro
    3º trabalho: 3 a 22 de Dezembro
    Os trabalhos serão realizados por grupos de 2 (ou 3) alunos
    A constituição dos grupos deverá ser diferente de trabalho para trabalho
    de forma a que haja apenas um elemento na intersecção.

    A nota mínima de exame é 8.5. 
    A aprovação é obtida com nota final igual ou superior a 9.5.
    Notas finais superiores ou iguais a 18 ficarão sujeitas a uma defesa oral.

    Horário
    Aulas teóricas: Segundas 12h-13h30 (sala C22), Quartas 10h30-12h00 (sala QA.1.3)
    Aulas práticas: Terças 10h-12h (sala C11)
    Horário de dúvidas: Segundas 15h-16h, Terças 17h-18h30.

    1. Trabalhos
    Trab. 11: Ausenda Pires (51281), Carla Santos (51282), Cláudia Pascoal (51285) [[1.7]]
    Trab. 12: Ana Sofia Mendonça (51277), Ana Sofia Graça (51278), Ananda Griffith (51279) [[1.7]]
    Trab. 13: José Nuno Pereira (51287), Pedro Pinheiro (51291) [[1.6]]
    Trab. 14: Sérgio Marcelino (51292), Luís Diogo (50908) [[1.8]]
    Trab. 15: Iara Gonçalves (50001), Catarina S. Rego (49996), Tiago Carvalho (51293) [[1.6]]
    Trab. 16: Rúben Martins (50016), Tiago Bonaparte (50019) [[1.3]]
    2. Trabalhos
    Trab. 21: Ausenda Pires (51281), Carla Santos (51282), José Nuno Pereira (51287)  [[1.8]]
    Trab. 22: Cláudia Pascoal (51285), Ana Sofia Graça (51278), Ananda Ida Griffith (51279) [[1.8]]
    Trab. 23: Ana Sofia Mendonça (51277), Iara Gonçalves (50001), Luís Diogo (50908) [[1.9]]
    Trab. 24: Rúben Martins (50016), Catarina S. Rego (49996), Tiago Bonaparte (50019)  [[1.7]]
    Trab. 25: Sérgio Marcelino (51292), Tiago Carvalho (51293), Pedro Pinheiro (51291) [[1.9]]
    3. Trabalhos Trab. 31, 32, 33, 34, 35
    Trab. 31: Ausenda Pires (51281),  José Nuno Pereira (51287), Pedro Pinheiro (51291)  [[1.8]]
    Trab. 32: Cláudia Pascoal (51285), Carla Santos (51282), Ana Sofia Graça (51278) [[1.9]]
    Trab. 33: Ana Sofia Mendonça (51277), Ananda Ida Griffith (51279), Tiago Bonaparte (50019) [[1.6]]
    Trab. 34: Rúben Martins (50016), Catarina S. Rego (49996), Iara Gonçalves (50001)  [[1.8]]
    Trab. 35: Sérgio Marcelino (51292), Tiago Carvalho (51293), Luís Diogo (50908) [[1.9]]

    Exames
    Elementos de consulta:
    - Folha A4 manuscrita pelo aluno (frente e verso).
    - não são utilizadas máquinas de calcular.

    1a. Época: 26 de Janeiro de 2004, 17h00 (Sala Q5.2):
     Enunciado e correcção
     Revisão de provas: dia 3 de Fevereiro, 17h00.

    2a. Época: 11 de Fevereiro de 2004, 17h00 (Sala P12)
     Enunciado e correcção

    Época Especial:
    Os alunos inscritos em época especial, deverão enviar um mail 
    (ao Prof. Carlos Alves) até ao dia 13 de Setembro de 2004. 
    A prova poderá realizar-se no dia 14 de Setembro de 2004, às 18h00.
    Número: Iniciais Trab. 1 Trab. 2 Trab. 3 Trabalhos Exame 1 Exame 2 Final
    49993: ASB (**) . . . 4.55 . R[2.2] R
    49996: CSR 1.6 1.7 1.8 5.1 . R[3.2] R
    50001: IG 1.6 1.9 1.8 5.3 . R[4.8] R
    50003: JNS (**) . . . 4.0 R[2.5] R[4.8] R
    50016: RM 1.3 1.7 1.8 4.8 . R[4.9] R
    50019: TB 1.3 1.7 1.6 4.6 . . R
    50908: LD 1.8 1.9 1.9 5.6 11.3 12 19 (17.6 & oral)
    51277: ASM 1.7 1.9 1.6 5.2 . 8.6 14 (13.8)
    51278: ASG 1.7 1.8 1.9 5.4 6.4 8.5 (r) 14 (13.9)
    51279: AIG 1.7 1.8 1.6 5.1 7.5 10.9 16 (16.0)
    51281: AP 1.7 1.8 1.8 5.3 6.0 6.8 12 (12.1)
    51282: CPS 1.7 1.8 1.9 5.4 6.0 10.1 16 (15.5)
    51285: CP 1.7 1.8 1.9 5.4 9.5 10.6 16 (16.0)
    51287: JNP 1.6 1.8 1.8 5.2 . 6.3 12 (11.5)
    51291: PP 1.6 1.9 1.8 5.3 R[5.0] R[3.5] R
    51292: SM 1.8 1.9 1.9 5.6 . 8.9 15 (14.5)
    51293: TC 1.6 1.9 1.9 5.4 6.1 . 12 (11.5)

    (*) cotação de exame: 0 a 14.
    (**) Trabalhos 02/03: 25%, Exame 75%.
    (r)Após revisão de provas (2ºexame, 17 Fevereiro 2004, Terça-Feira, 17h00).