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modif.: 10 Janeiro 2004            ____
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Análise Numérica II

Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação
1º Semestre de 2004/2005

Professor responsável: Carlos J. S. Alves
 
 
Programa
 

I. Aproximação de funções
1.  Interpolação
   1.1. Interpolação de Lagrange.
   1.2.Interpolação de Hermite.
   1.3.Interpolação de Chebyshev.
   1.4. Operador de interpolação. Constante de Lebesgue.
   1.5. Interpolação trigonométrica. Transformação de Fourier Discreta e FFT.
   1.6. Interpolação com splines. Splines cúbicos.
2. Melhor aproximação em espaços funcionais
    2.1. Melhor aproximação em espaços pré-hilbertianos.
    2.2. Mínimos Quadrados - discretos e contínuos. Polinómios Ortogonais.
    2.3. Melhor aproximação em espaços normados.
    2.4. Aproximação Minimax. Condição de Haar. Teorema de La Valée-Poussin.
    2.5. Teorema de Chebyshev. Algoritmo de Remes.

II. Aproximação de funcionais lineares.
     Diferenciação e integração numéricas.
1. Representações exactas sobre polinómios
    1.1. Fórmulas de diferenciação numérica.
    1.2. Fórmulas de integração numérica. 
    1.3. Integração de Newton-Cotes. Integração de Gauss.
2. Representações seccionalmente exactas
    2.1. Fórmulas de integração compostas.
    2.2. Fórmulas semi-analíticas para integração singular.

III. Sistemas de equações diferenciais ordinárias - Aproximação numérica.
1. Problemas de valor inicial
    1.1. Métodos de Taylor e Runge-Kutta com passo simples.
    1.2. Métodos de Adams-Bashforth com passo múltiplo.
    1.3. Métodos Theta. Métodos preditor-corrector. 
    1.4. Erro de truncatura local. Erro global. Ordem de consistência.
    1.5. A-Estabilidade e Zero-Estabilidade.
    1.6. Teoremas de convergência.
2. Problemas de valor na fronteira
    2.1. Métodos de diferenças finitas (breve referência)
    2.2. Métodos de elementos finitos (breve referência)
 

Bibliografia

  •  R. Kress, Numerical Analysis, Springer-Verlag, 1998.
  •  M. Crouzeix & A.L. Mignot, Analyse Numérique des Équations Differentielles, (2e ed.), Masson, 1989.
  •  M. Atteia & M. Pradel , Elements d'Analyse Numérique, Cepadues-Editions, 1990.
  •  T. Diogo, Notas de Análise Numérica, AEIST, Secção de Folhas, 1996/1997.
  •  J. M. Ortega, Numerical Analysis: a second course, Classics in Applied Mathematics; Vol. 3, SIAM, 1990.
  •  A. Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics, TAMS 37, Springer Verlag, 2000.
  •  K. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, ( 2nd ed.), Wiley, 1980.
  •  J. Stoer & R. Bulirsch, Introduction to Numerical Mathematics, ( 2nd ed.), Springer Texts in Appl. Math., 1993.

    •  
  • Outros elementos de apoio:

    • - C. J. S. Alves:Resumo da matéria teórica - LEFT (2001)
        ver em particular      integração numérica, métodos para problemas de valores iniciais).
  • exercícios de aulas práticas 

    • Avaliação

    A avaliação consistirá num exame final (70%) e em 3 trabalhos computacionais (30%).
    Datas previstas para os trabalhos computacionais:
    1º trabalho: 6 a 22 de Outubro
    2º trabalho: 2 a 17 de Novembro
    3º trabalho: 29 de Novembro a 15 de Dezembro
    Os trabalhos serão realizados por grupos de 2 (ou 3) alunos
    A constituição dos grupos deverá ser diferente de trabalho para trabalho
    de forma a que haja apenas um elemento na intersecção.

    A nota mínima de exame é 8.5. 
    A aprovação é obtida com nota final igual ou superior a 9.5.
    Notas finais superiores ou iguais a 18 ficarão sujeitas a uma defesa oral.

    Horário
    Aulas teóricas: Segundas 9h30-11h00 (sala C12), Quartas 9h30-11h00 (sala C10)
    Aulas práticas: Terças 13h-15h (sala V003)
    Horário de dúvidas: Segundas 15h-16h30, Terças 11h-12h00.
     

    Trabalhos
    -  Os trabalhos estão disponíveis neste link.

    Exames
    Elementos de consulta:
    - Folha A4 manuscrita pelo aluno (frente e verso).
    - não são utilizadas máquinas de calcular.
    1º exame (10 de Janeiro): enunciado , quasi-resolução e classificação
    2º exame (2 de Fevereiro): classificação

    Resultados Finais