Algumas notas sobre Superfícies em R³:  

Curvatura

A curvatura (de Gauss) de uma superfície, é a medida escalar da taxa de variação da direcção dum vector normal unitário em torno da superfície.

Um plano tem curvatura zero: tem direcção normal constante.

Uma esfera tem curvatura constante: o seu vector normal unitário varia a uma taxa constante em todos os pontos.

Convencionalmente, diz-se que uma esfera tem curvatura positiva pois, qualquer que seja o ponto da esfera, ela encontra-se sempre do mesmo lado do plano tangente a esse ponto. 

Numa sela, isto já não acontece. Qualquer que seja o ponto da sela, a superfície atravessa sempre o plano tangente em torno desse ponto e por isso a curvatura é negativa. Aqui temos um exemplo simples dado por z = x² - y², e a sua curvatura. Podemos ver que a curvatura é igual a -4 na origem, mas converge para zero à medida que nos afastamos desse ponto. 

Existem superfícies de sela mais complicadas como podemos ver no exemplo seguinte.

Monkey Saddle: z = x³ - 3x y²

Aqui temos esta superfície e a sua curvatura. Note que a curvatura na origem é nula, como podemos observar na secção do gráfico da curvatura.

Sabemos então que uma esfera tem curvatura constante positiva e que, numa sela, a curvatura é negativa. Assim, se quisermos curvatura constante negativa, podemos esperar que em torno de qualquer ponto, a superfície se pareça com uma sela. Ao contrário da esfera, uma superfície deste tipo, não se fecha nem é limitada. Exemplos famosos são a 

Pseudoesfera  e a

Superfície de Dini: Superfície de curvatura constante negativa.

Curvatura Média:

Para além da curvatura de Gauss, que é intrínseca à superfície e não depende do modo como ela está imersa no espaço, definimos também curvatura média num ponto. Para este efeito, consideramos as curvas determinadas pela intersecção da superfície com planos perpendiculares ao plano tangente a esse ponto. Tomam-se depois os valores máximo e mínimo das  curvaturas destas curvas (curvaturas principais). A curvatura média da superfície nesse ponto é então a média destes dois valores. Eis aqui alguns exemplos de como determinar as curvaturas principais:

Sela

Outros exemplos

Vejamos também a  "Monkey saddle" colorida de acordo com as duas funções de curvatura .

Superfícies minimais são as que possuem a menor área possivel entre as superfícies com um dado bordo e por isso têm curvatura média nula.

As "superfícies de sabão" que se obtêm em estruturas em arame, são superfícies minimais.

O que caracteriza uma superfície minimal é que em torno de qualquer ponto,  "curva" positivamente ao longo de uma dada direcção principal e negativamente na direcção perpendicular. 

Aqui temos dois exemplos que podem ser transformados continuamente um no outro através de uma família de superfícies minimais: a helicóide e a catenóide.

Outras superfícies minimais

Novas superfícies a partir de outras:

Uma banda de Mobius pode ser construída unindo as pontas de uma banda depois de a torcer. A superfície resultante tem apenas uma aresta, um lado e é não-orientável (não tem normal contínua).

Unindo as extremidades de um tubo ou cilindro obtemos um toro, que é orientável

Unindo as extremidades de um tubo com orientações opostas (o equivalente a torcer na banda de Mobius), dá origem à garrafa de Klein, que pode ser mais facilmente vista utilizando um tubo duplo:

Os gráficos utilizados foram criados por C.T.J. Dodson, UMIST utilizando Mathematica com funções do livro de
A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Second Edition, CRC Press, Boca Raton, 1997.
Os gráficos animados utilizam o software LiveGraphics3D e foram criados pelo Geometry Center, University of Minnesota.