Carga
lectiva semanal:
2 horas
teóricas + 3 horas de laboratório.
As aulas
decorrem desde 24 de Setembro a 21 de Dezembro (13 semanas).
-
O que
é Matemática Experimental?
A
matemática experimental consiste na utilização
da tecnologia computacional hoje disponível para abordar as
mais diversas áreas da matemática. A
utilização do computador na aprendizagem da
matemática e na investigação é hoje
designada por matemática experimental. Nesta disciplina o
computador é usado como uma ferramenta exploratória de
conceitos matemáticos, abrindo perspectivas para a
formulação de resultados e respectivas provas formais.
O presente
curso é uma iniciação à
matemática experimental, destinando-se a alunos que frequentam
pela primeira vez a universidade (1º ano da Licenciatura em
Matemática Aplicada e Computação do I.S.T.).
Usando como
pretexto a introdução de uma linguagem
computacional que seja o mais
próxima
possível
da linguagem matemática (escolheu-se o sistema Mathematica®
porquanto
este permite aos alunos usufruir simultaneamente de processamento de
texto,
de cálculo numérico, simbólico e gráfico)
inicia-se o aluno na compreensão de algoritmos básicos,
nomeadamente no âmbito da teoria elementar dos
números, levando-o a formular hipóteses e a extrair
resultados gerais a partir da experimentação.
As aulas de
laboratório permitem ao aluno fazer as suas experiências,
analisar exemplos
ou detectar padrões, a partir de problemas que lhe são
fornecidos semanalmente. São ainda propostos dois
trabalhos
computacionais (a realizar fora das aulas) tendo em vista a
programação em Mathematica de algoritmos com
grau
de dificuldade semelhante aos discutidos nas aulas teóricas, bem
como a análise e discussão de resultados experimentais.
Pretende-se igualmente que o aluno desenvolva qualidades de
organização de trabalho em grupo.
Compreensão
dos algoritmos propostos e sua
tradução em linguagem Mathematica®.
Experimentação
dos algoritmos de modo a desenvolver intuição
numérica e compreensão dos problemas que tais algoritmos
pretendem resolver.
Descoberta de
padrões e
relações existentes
com outros problemas.
Recurso intensivo a
cálculo e
experimentação
gráfica para ilustração dos princípios
matemáticos subjacentes.
Teste de conjecturas e
eventual
formulação de novas
conjecturas.
Substituição
de cálculos
manuais fastidiosos
por cálculo simbólico e/ou numérico.
Confirmação
de resultados
analíticos.
Recapitulação de
conceitos
aprendidos noutras
disciplinas, numa perspectiva experimental.
Escrita de programas Mathematica®
para
resolução de problemas
de aplicação da teoria.
Programa
1.
Introdução (2 semanas)
Objectivos da cadeira. Definição de algoritmo,
exemplos. Problema de Collatz.
2.
Algoritmos
da Teoria elementar dos números (6 semanas)
Divisibilidade. Algoritmo de
Euclides. Números primos. Crivo de Eratóstenes.
Sucessão de Fibonacci.
Fracções contínuas. Aritmética modular.
Equações
de Diofanto. Resolução de congruências lineares.
3. Álgebra Computacional (5 semanas)
Representação de números no computador,
mudanças
de base. Métodos de aproximação de raizes de
equações
não-lineares: bissecção, ponto fixo, Newton e
secante.
Métodos de ponto fixo. Ponto fixo atractor, repulsor e
neutro.
Noções de aceleração de convergência.
Aplicação à resolução de
equações e somas de séries.
Exemplos de sistemas dinâmicos discretos.
Lab
1: O
que é o sistema Mathematica.
Operações sobre números inteiros.
Operações com números racionais e irracionais.
Expressões trigonométricas. Operações com
números complexos. Expressões
simbólicas. Gráficos. Problemas.
Lab
2:
Funções, derivadas, função inversa e pontos
fixos. Números complexos (formas rectangular e polar).
Lab 3: Definição de
funções em
Mathematica (cont.) Algoritmos da teoria dos números (1).
Lab 4:
Algoritmos da teoria dos números (2).
Lab 5: Fracções
contínuas.
Lab 6:
Álgebra linear.
Lab 7: Equações diofantinas.
Lab 8: Representação
de números numa base b>=2.
Lab 9: Equações
não lineares.
Lab 10:
Erros de arredondamento.
Principal:
Mário
M.
Graça e Pedro T. Lima, Matemática
Experimental, IST PRESS, 2006.
P.
Wellin, R. Gaylord and S. Kamin, An Introduction to Programming
with Mathematica®,
Cambridge University Press, 3rd. Ed., 2005.
Suplementar:
Stephen
Wolfram, The
Mathematica Book, Cambridge University Press,
1996.
Nancy
Blanchman, Mathematica:
a Practical Approach, Prentice Hall,
1992.
J.
Carmo, A.
Sernadas, C. Sernadas, F. Dionísio, C.
Caleiro,
Introdução à
Programação em
Mathematica, IST Press, 2ª ed., 2004.
J.
J. Tattersall, Elementary Number Theory in Nine Chapters, Cambridge
University Press, 1999.
P.
Giblin, Primes and Programming - An Introduction to Number Theory
with Computing, Cambridge University Press, 1993.
R.
A. Mollin, Fundamental Number Theory with Applications, CRC Press,
1998.
- Esta disciplina não tem exame final.
- Serão distribuídos aos
alunos
dois enunciados de trabalhos computacionais, cujos
relatórios
serão posteriormente discutidos. Os trabalhos são
realizados por grupos de 4 alunos. Os grupos
são
constituídos na primeira semana de aulas, e a sua
constituição
não pode ser alterada até ao final do semestre, a
não
ser com autorização expressa do professor
responsável. Salvo aviso em contrário, os
relatórios são enviados por e-mail para
o endereço mgraca@math.ist.utl.pt.
Relatórios entregues fora de
prazo não serão
corrigidos.
Sendo
T1 e T2 as notas dos trabalhos computacionais, a respectiva nota final
será
TC=(T1+T2)/2.
- Consta ainda da avaliação
contínua a
realização
de dois testes escritos (com a duração de 1h30m, e nota
mínima de 8.0 valores em cada teste):
1º teste - 20
de
Novembro
2007 (t1)
2º teste - 11
de Dezembro
2007 (t2)
Caso
o aluno não tenha comparecido a pelo menos um dos testes, ou
não
tenha obtido a nota mínima, poderá ainda apresentar-se ao
teste de recuperação onde poderá melhorar a
classificação
da parte, ou partes, da matéria correspondente ao(s) teste(s) em
falta.
Alunos do ano lectivo anterior, já aprovados, e inscritos
na disciplina para efeitos de melhoria de nota, poderão
apresentar-se a um exame geral sobre toda a matéria, que
decorrerá em simultâneo com o teste de
recuperação.
teste de recuperação - 5 de
Janeiro de 2008.
- A nota final dos testes será T= (t1+t2)/2 .
A
nota
final será calculada pela seguinte média ponderada:
NF = 0.3 TC + 0.7 T
- Serão aprovados os alunos com nota final
igual ou superior
a
9.5.
Caso NF>=17 o aluno deverá submeter-se a prova oral. No caso
de
não comparecer a esta prova a nota final será NF=17.
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