Trabalho de Matemática Computacional

Licenciatura em Engenaria de Redes de Comunicação

Licenciatura em Engenharia Electrónica

Trabalho 2 – Versão 1

Data de entrega: 14/12/07

Os programas deverão ser escritos em Mathematica. Deverá ser entregue a diskette ou o CD com os programas (devidamente comentados) e um relatório contendo as respostas às perguntas, bem como asexplicações que entender necessárias).

Considere a seguinte tabela, onde está registada a variação da posição de um objecto (X, em cm), em função do tempo (t, em segundos):

t	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
X	-2.37	-4.45	-2.35	1.51	3.9	4.83	4.97

Sabe-se que os valores obtidos experimentalmente podem ser ajustados por uma função g, dependente de 4 parâmetros a,b,c,d do tipo . O objectivo deste trabalho é obter os valores destes parâmetros pelo método dos mínimos quadrados.

1. Para começar, suponhamos que o valor de a é conhecido aproximadamente (a=5) e, para obter os valores dos outros dois parâmetros, vamos usar uma função ajustadora mais simples, . Para isso, introduz-se a função auxiliar .

(a) Tendo em consideração que a nova função ajustadora corresponde a um ajustamento linear, escreva os sistema normal de equações com vista à aplicação do método dos mínimos quadrados.

(b) Escreva um programa que lhe permita resolver um sistema linear pelo método de Cholesky e use-o para resolver o sistema otido na alínea anterior.

(c) Calcule a soma dos quadrados dos desvios da função g, construída com base nos valores de a, b , c e d considerados, em relação aos valores tabelados.

2. Passemos agora ao problema mais geral do ajustamento não-linear com a função ajustadora g. Deste modo, vamos refinar os valores dos parâmetros obtidos ao resolver o problema linear.

(a) Escreva o sistema de equações, da forma F(x)=0, que lhe permite calcular os parâmetros a, b, c, d pelo método dos mínimos quadrados.

(b) Programe funções que lhe permitam calcular a função não-linear F, correspondente ao sistema da alínea anterior, e a respectiva matriz Jacobiana, sendo dado qualquer vector (a₀, b₀,c_0,d₀).

(c) Escreva um algoritmo que use o método de Newton e as funções da alínea b) para obter uma solução aproximada do sistema da alínea a). Aplique esse algoritmo à resolução do sistema da alínea a), usando como aproximação inicial os valores de a, b , c, d obtidos na questão1-c.

(d) Calcule a soma dos quadrados dos desvios da função g,construída com base nos novos valores de a,b, c, d em relação aos valores tabelados. Compare com o valor obtido em 1-d) e comente.