Instituto Superior Técnico

Departamento de Matemática

Trabalho de Matemática Computacional

Licenciatura em Engenharia Redes de Comunicação

Licenciatura em Engenharia Electrónica

Trabalho 2- Versão 2

Data de entrega: 14/12/07

Os programas deverão ser escritos em Mathematica. Deverá ser entregue a diskette ou CD com os programas (devidamente comentados) e um relatório contendo as respostas às perguntas, bem como as explicações que entender necessárias).

Pretende-se passar um cabo por 6 pontos cujas coordenadas são dadas na seguinte tabela.

	A	B	C	D	E	F
x	0.2	0.3	0.45	0.5	0.7	0.8
y	-1.9169	-1.95429	-2.07641	-2.125	-2.25619	-2.2025

Para determinar a forma do cabo, vamos recorrer a interpolação e ao método dos mínimos quadrados.

1. Escreva um programa que, dada uma tabela de n valores de uma função, determine o polinómio interpolador da função nesses pontos.

2. Na resposta a este problema utilize o programa da alínea anterior.
(a) Determine valores aproximados de y(0.6) , admitindo que o cabo passa pelos seguintes pontos: i) D,E; ii)D,E,F, iii) C,D,E,F; iv)B,C,D,E,F v) A,B,C,D,E,F
(b) Suponhamos que pelos mesmos 6 pontos passa um segundo cabo, cuja forma é dada pela função:

y(x) = c₁ cos (x) + c₂ sen(x) + c₃ x² + c₄ x + c₅ + c₆ exp(-x),

onde c_i são constantes reais, i=1,2,…,6. Obtenha a forma do cabo, determinando o valor destas constantes. (Pode utilizar os comandos apropriados do Mathematica).

(c) Usando a estimativa para o erro de interpolação, obtenha majorantes para o desvio entre o cabo considerado na alínea b) e o considerado na alínea a) (em cada um dos cinco casos). Compare com o valor real do desvio e comente.

(d) Através de interpolação polinomial inversa e usando o máximo número possível de pontos, calcule a abcissa x tal que y(x)=-2. Justifique a escolha dos nós de interpolação.

3. Considere-se agora o seguinte problema. Sabendo que o cabo deve ter a forma :

P(x) = a₀ +a₁ x + a₂ x² + … +a_k x^k , k >1,

Pretende-se determinar as constantes a_i , i=0,1,…,k de modo a que a soma dos quadrados das distâncias do cabo aos pontos A,B,C,D,E,F seja mínima.

(a) Escreva um programa que lhe permita resolver um sistema de equações lineares pelo método de Cholesky.

(b) Usando o programa da alínea anterior, resolva o problema nos casos de k=2, 3, 4 e para cada um deles obtenha a soma dos quadrados dos desvios.

(c) Para cada valor de k, calcule: i) o desvio no ponto x=0.6 em relação à função correspondente considerada na alínea 1-a ; ii) o desvio no ponto x=0.6 em relação à função correspondente considerada na alínea 1-c)