Trabalho de Matemática Computacional

Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial

Trabalho 2 – Versão 1

Data de entrega: 6/6/08

Os programas deverão ser escritos em Mathematica. Deverá enviá-los põe e-mail (devidamente comentados) , juntamente com um relatório contendo as respostas às perguntas, bem como as explicações que entender necessárias.

Considere a seguinte tabela, onde está registada a variação da velocidade de um objecto (V, em m/s), em função do tempo (t, em segundos):

t	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2
V	1.5	1.35	1.23	1.17	1.13	1.12	1.09

Sabe-se que os valores obtidos experimentalmente podem ser ajustados por uma função g, dependente de 3 parâmetros a,b,c, do tipo

O objectivo deste trabalho é obter os valores destes parâmetros pelo método dos mínimos quadrados.

Para começar, suponhamos que o valor de c é conhecido aproximadamente (c=1) e, para obter os valores dos outros três parâmetros, vamos usar uma função ajustadora mais simples,

Para isso, introduz-se a função auxiliar

(a) Tendo em consideração que a nova função ajustadora corresponde a um ajustamento linear, determine a nova função ajustadora e escreva o sistema normal de equações com vista à aplicação do método dos mínimos quadrados.

(b) Escreva um programa que lhe permita resolver um sistema linear pelo método de Doolittle e use-o para resolver o sistema obtido na alínea anterior.

(c) Calcule a soma dos quadrados dos desvios da função g, construída com base nos valores de a, b, c considerados, em relação aos valores tabelados.

2. Passemos agora ao problema mais geral do ajustamento não-linear com a função ajustadora g. Deste modo, vamos refinar os valores dos parâmetros obtidos ao resolver o problema linear.

(a) Escreva o sistema de equações, da forma F(a,b,c)=0, que lhe permite calcular os parâmetros a, b, c, pelo método dos mínimos quadrados.

(b) Programe funções que lhe permitam calcular a função não-linear F, correspondente ao sistema da alínea anterior, e a respectiva matriz Jacobiana, sendo dado qualquer vector (a₀, b₀,c_0,).

(c) Escreva um algoritmo que use o método de Newton e as funções da alínea b) para obter uma solução aproximada do sistema da alínea a). Aplique esse algoritmo à resolução do sistema da alínea a), usando como aproximação inicial os valores de a, b , c, obtidos na questão1-b).

(d) Calcule a soma dos quadrados dos desvios da função g, construída com base nos novos valores de a,b,c, em relação aos valores tabelados. Compare com o valor obtido em 1-c) e comente.