Instituto Superior Técnico

Departamento de Matemática

 

Trabalho de Matemática Computacional

Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial

Trabalho 2- Versão 2

Data de entrega: 6/06/08

Os programas deverão ser escritos em Mathematica. Deverão ser enviados  por e-mail  (devidamente comentados), juntamente   com  um relatório contendo as respostas às perguntas, bem como as explicações que entender necessárias.

 

Considerem-se  6 pontos num plano, cujas coordenadas são dadas na seguinte tabela.

 

A

B

C

D

E

F

x

 1.0

1.2

1.35

1.5

1.7

1.8

y

-2

-2.88

-3.47

-3.67

-2.43

-0.63

Pretende-se determinar uma trajectória que deve passar por esses pontos (ou por alguns deles).

Para isso, vamos recorrer a interpolação e ao método dos mínimos quadrados.

1. Escreva um programa que, dada uma tabela de n valores de uma função, determine o polinómio interpolador da função nesses pontos.

2. Na resposta a este problema utilize o programa da alínea anterior.
(a) Determine valores aproximados de  y(1.6) , admitindo que a trajectória passa pelos seguintes pontos: i) D,E; ii)D,E,F, iii) C,D,E,F; iv)B,C,D,E,F v) A,B,C,D,E,F
(b) Consideremos agora uma linha que passa pelos  pontos B,C,D,E,F, cuja forma é dada  pela função:

g(x) = c1 cos(x) + c2 + c3 x + c4 x2 +c5  exp(x),

onde ci  são constantes reais, i=1,2,…,6.  Obtenha a equação da linha, determinando o valor destas constantes. (Pode utilizar os comandos apropriados do Mathematica).

(c) Usando a estimativa para o erro de interpolação, obtenha majorantes para o desvio entre o gráfico da função g, e as primeiras 4 trajectórias consideradas na alínea (a), no ponto de abcissa x=1.6 . Compare com o valor real do desvio e comente.

(d) Interpolando a função inversa de y e usando o máximo número possível de nós de interpolação, calcule aproximações dos pontos x  tais que y(x)=-3. Justifique, em cada caso,  a escolha dos nós de interpolação.

3. Considere-se agora o seguinte problema. Sabendo que a trajectória deve ter a forma :

T(x) = a0  +a1 cos(x) + a2  sen(x)  + a3  cos(2x) + … ,

pretende-se determinar as constantes ai  , i=0,1,…,k de modo a  minimizar a seguinte função:

(a) Escreva um programa que lhe permita resolver um sistema de equações lineares pelo método de Doolittle.

(b) Usando o programa da alínea anterior, resolva o problema nos casos de k=2, 3, 4 e para cada um deles obtenha a soma dos quadrados dos desvios entre T e y nos pontos de interpolação.

(c) Determine qual o mínimo valor de k para o qual se verifica 

.

 

Para esse valor de k, calcule T(x).