Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial
Trabalho 2- Versão 2
Os programas deverão ser escritos
Considerem-se
6
pontos num plano, cujas coordenadas são dadas na seguinte tabela.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
x |
1.0 |
1.2 |
1.35 |
1.5 |
1.7 |
1.8 |
y |
-2 |
-2.88 |
-3.47 |
-3.67 |
-2.43 |
-0.63 |
Pretende-se determinar uma
trajectória que deve passar por esses pontos (ou por alguns deles).
Para isso, vamos recorrer a
interpolação e ao método dos mínimos quadrados.
1. Escreva um programa que, dada uma tabela de n
valores de uma função, determine o polinómio
interpolador da função nesses pontos.
2. Na resposta a este
problema utilize o programa da alínea anterior.
(a) Determine valores aproximados de y(1.6) , admitindo que a trajectória
passa pelos seguintes pontos: i) D,E; ii)D,E,F, iii) C,D,E,F; iv)B,C,D,E,F
v) A,B,C,D,E,F
(b) Consideremos agora uma linha que passa pelos pontos B,C,D,E,F, cuja forma é dada pela função:
g(x) = c1 cos(x) + c2 + c3
x + c4 x2 +c5
exp(x),
onde ci são constantes reais, i=1,2,…,6. Obtenha a equação da linha, determinando o
valor destas constantes. (Pode utilizar os comandos apropriados do
Mathematica).
(c) Usando
a estimativa para o erro de interpolação, obtenha majorantes para o desvio
entre o gráfico da função g, e as primeiras 4 trajectórias consideradas na
alínea (a), no ponto de abcissa x=1.6 . Compare com o
valor real do desvio e comente.
(d)
Interpolando a função inversa de y e usando o máximo número possível de nós de
interpolação, calcule aproximações dos pontos x tais que y(x)=-3. Justifique, em cada
caso, a escolha dos nós de interpolação.
3. Considere-se agora o seguinte problema. Sabendo
que a trajectória deve ter a forma :
T(x) = a0
+a1 cos(x) + a2 sen(x) + a3 cos(2x) + … ,
pretende-se determinar as constantes ai , i=0,1,…,k de modo a minimizar a seguinte função:
(a) Escreva um programa
que lhe permita resolver um sistema de equações lineares pelo método de Doolittle.
(b) Usando o programa da
alínea anterior, resolva o problema nos casos de k=2, 3, 4 e para cada um deles
obtenha a soma dos quadrados dos desvios entre T e y nos pontos de
interpolação.
(c) Determine qual o mínimo
valor de k para o qual se verifica
.
Para esse valor de k, calcule T(x).