Diferenças divididas:

f[0, 0.5] = -2; f[0.5, 1] := -4;  
    f[0, 0.5, 1] = -2

Polinómio interpolador :  P (t) = 3 - 2  t - 
          2  t (t - 0.5) =  3  - t - 2  (t^2)

a = -2, b = -1, c = 3

O Polinómio interpolador da função f nos nós x0, 
    x1, ... xn é o polinómio P de grau não superior a n que satisfaz as condições P (xi) = f (xi),  i = 0,  ... , n.

Para determinar o  mínimo de Q é necessário primeiro resolver o sistema normal com as funções de base ϕ0 (t) = 1, ϕ1 (t) = t, 
    nos pontos  :   t0 = 0,  t1 = 0.5,  t2 = 1.

Matriz:

A = {{3, 1.5}, {1.5, 1.25}}

Segundo membro:

b = {5, 1}

Solução:

LinearSolve[A, b]

a0 = 19/6,  a1 = -3

Depois,  há que calcular a função Q,  
    para os valores de a0 e a1 obtidos:

Q (a0, 
          a1) =  (∑_(i = 0)^2)((((Subscript[x, i]) - a0 - a1 (Subscript[t, i])))^2) =  (∑_(i = 0)^2)((((Subscript[x, i]) - 19/6 + 3 (Subscript[t, i])))^2) = (1/6).

Para aplicar a regra de Simpson composta,  é necessário usar 5 nós :  t0 = 0, t1 = 0.5, t2 = 1, 
    t3 = 1.5, t4 = 2.

Valores da função f (t) = 
      x (t) - t nesses pontos:

f0 = 3; f05 = 1.5; f1 = -1; f15 = -2.5; f2 = -2

h = 0.5

Aplicação da fórmula:

S = h/3 (f0 + 4  f05 + 2 *f1 + 4*f15 + f2)

I (f) =  S (f)  +  E (f), 
    onde S (f) é o valor obtido na alínea anterior,  pela regra de Simpson,  
    e E é o erro desse valor .  
        Segundo a fórmula do erro da regra de Simpson,

E (f) = -(h^4) (b - a) (f^((4))) (ξ)/
          180

Uma vez que  (f^((4))) (x) = 
      24 (Subscript[a, 4]) (não depende de x)

temos E (f) =  -((Subscript[a, 4])/60).

Logo,  I (f) =  -0.8333 - ((Subscript[a, 4])/60).

Para que a quadratura tenha,  pelo menos,  grau 2,  
    deverá satisfazer as condições:

Q (1) =  (Subscript[A, 0]) + 
          (Subscript[A, 1]) = (∫_0^1) 1 \[DifferentialD]x =  
          1                      (1)

Q (x) =  (Subscript[A, 0]) (Subscript[x, 0]) + 
          (Subscript[A, 1]) = (∫_0^1) x \[DifferentialD]x =  
          (1/2)             (2)

Q ((x^2)) =  (Subscript[A, 0]) ((Subscript[x, 0])^2) + 
          (Subscript[A, 1]) = (∫_0^1) (x^2) \[DifferentialD]x =  
          (1/3)       (3)

Das equações  (2) e (3) conclui - 
      se que:

A1 = (1/2) - (Subscript[A, 0]) (Subscript[x, 0]) = (1/3) - (Subscript[A, 0]) ((Subscript[x, 0])^2)

Daqui ,  assumindo que (Subscript[x, 0]) ≠ 0 e (Subscript[x, 0]) ≠ 1,  
    resulta que (Subscript[A, 0]) = (1/(6 ((Subscript[x, 0]) - 
                  ((Subscript[x, 0])^2)))) .  (4)

Daqui e da equação (1) obtém - 
        se  (Subscript[A, 1]) = 1 - (Subscript[A, 0]) = 
        1 - (1/(6 ((Subscript[x, 0]) - ((Subscript[x, 0])^2)))) (5)

Depois,  
    substituindo as expressões de  (Subscript[A, 0]) e (Subscript[A, 1]) 
      na  equação (2) ,  
    obtém - se que (Subscript[x, 0]) = (1/3).

Finalmente,  
    substituindo o valor de (Subscript[x, 0]) 
      nas expressões (4) e (5),  
    obtém - se (Subscript[A, 0]) = 3/4 ,  (Subscript[A, 1]) = 1/4.

\(\(\(1. \ Método\ de\ Euler\ \((método\ de\ 1  ª\ ordem)\)\)\(:\)\)\)

h = 0.05

x0 = 1, x1 = 1.05, x2 = 1.1

y1 = 1 + 0.1 (1/1 +  Exp[1. ])

y2 = y1 + 0.1 (1.05/y1 + Exp[1.05])

\(\(\(Método\ dos\ trapézios\ \((caso\ particular\ dos\ métodos\ de\ Runge - Kutta\ de\ 2  ª\ ordem)\)\)\(:\)\)\)

(Subscript[y, 1]) = (Subscript[y, 0]) +  (h/2) (f ((Subscript[x, 0]), (Subscript[y, 0])) + 
                f ((Subscript[x, 0]) + h, (Subscript[y, 0]) + hf ((Subscript[x, 0]), (Subscript[y, 0])))) = 
        (Subscript[y, 0]) +  (h/2) (((Subscript[x, 0])/(Subscript[y, 0])) +  (Subscript[(E^x), 0])  +  (((Subscript[x, 0]) + h)/((Subscript[y, 0]) + h (((Subscript[x, 0])/(Subscript[y, 0])) +  (Subscript[(E^x), 0])))) +  (E^((Subscript[x, 0]) + h)))