Diferenças divididas:

f[1, 1.5] = -2; f[1.5, 2] := 2;  f[1, 1.5, 2] = 4

Polinómio interpolador :  
          P (t) = -2 (t - 1) + 
          4 (t - 1) (t - 1.5) =  4  t^2  - 12  t + 8

a = 4, b = -12, c = 8

Para determinar o ponto de mínimo de Q é necessárioresolver o sistema normal com as funções de base ϕ0 (t) = 1, ϕ1 (t) = (t^2), 
    nos pontos  :   t0 = 0,  t1 = 0.5,  t2 = 1.

Mqtriz:

A = {{3, 1.25}, {1.25, 1.0625}}

Segundo membro:

b = {5, 0.5}

Solução:

LinearSolve[A, b]

a0 = 2.885,  a1 = -2.923.

Para aplicar a regra de Simpson composta,  é necessário usar 5 nós :  t0 = 0, t1 = 0.5, t2 = 1, 
    t3 = 1.5, t4 = 2.

Valores da função f (t) = 
      x (t) + t nesses pontos:

f0 = 3; f05 = 2.5; f1 = 1; f15 = 0.5; f2 = 2

passo : h = 0.5

Aplicação da fórmula:

S (f) = h/3 (f0 + 4  f05 + 2 *f1 + 4*f15 + f2)

I (f) =  S (f)  +  E (f), 
    onde S (f) é o valor obtido na alínea anterior,  pela regra de Simpson,  
    e E é o erro desse valor .  
        Segundo a fórmula do erro da regra de Simpson,

E (f) = -(h^4) (b - a) (f^((4))) (ξ)/
          180

Uma vez que  (f^((4))) (x) = 
      24 (Subscript[a, 4]) (não depende de x)

temos E (f) =  -((Subscript[a, 4])/60).

Logo,  I (f) =  19/6 - ((Subscript[a, 4])/60).

Para que a quadratura tenha,  pelo menos,  grau 2,  
    deverá satisfazer as condições:

Q (1) =  (Subscript[A, 0]) + 
          (Subscript[A, 1]) = (∫_0^1) 1 \[DifferentialD]x =  
          1                      (1)

Q (x) =  (Subscript[A, 0]) (Subscript[x, 0]) + 
          (Subscript[A, 1]) = (∫_0^1) x \[DifferentialD]x =  
          (1/2)             (2)

Q ((x^2)) =  (Subscript[A, 0]) ((Subscript[x, 0])^2) + 
          (Subscript[A, 1]) = (∫_0^1) (x^2) \[DifferentialD]x =  
          (1/3)       (3)

Das equações  (2) e (3) conclui - 
      se que:

A1 = (1/2) - (Subscript[A, 0]) (Subscript[x, 0]) = (1/3) - (Subscript[A, 0]) ((Subscript[x, 0])^2)

Daqui ,  assumindo que (Subscript[x, 0]) ≠ 0 e (Subscript[x, 0]) ≠ 1,  
    resulta que (Subscript[A, 0]) = (1/(6 ((Subscript[x, 0]) - 
                  ((Subscript[x, 0])^2)))) .  (4)

Daqui e da equação (1) obtém - 
        se  (Subscript[A, 1]) = 1 - (Subscript[A, 0]) = 
        1 - (1/(6 ((Subscript[x, 0]) - ((Subscript[x, 0])^2)))) (5)

Depois,  
    substituindo as expressões de  (Subscript[A, 0]) e (Subscript[A, 1]) 
      na  equação (2) ,  
    obtém - se que (Subscript[x, 0]) = (1/3).

Finalmente,  
    substituindo o valor de (Subscript[x, 0]) 
      nas expressões (4) e (5),  
    obtém - se (Subscript[A, 0]) = 3/4 ,  (Subscript[A, 1]) = 1/4.

\(\(\(1. \ Método\ de\ Euler\ \((método\ de\ 1  ª\ ordem)\)\)\(:\)\)\)

x0 = 1; x1 = 1.1; x2 = 1.2;  h = 0.1

Primeiro passo:

y1 = 1 + 0.1*Sin[2]

Segundo passo:

y2 = y1 + 0.1*Sin[1.1 + y1]

Método de Taylor de segunda ordem .  Fórmula:

y1 = y0 + 
          h f (x0, 
              y0) + ((h^2)/2) (∂(f/∂)x (x0, 
                    y0)  +  ∂(f/∂)y (x0, y0) 
                  f (x0, y0)) = 
y0 + 
          h x0 sen (x0 + y0)  +  ((h^2)/2) (sen (x0 + y0) + 
                x0 cos (x0 + y0) + 
                cos (x0 + y0) (x0^2) sen (x0 + y0))

(*3*)  Diz - 
        se que um método numérico para equações diferenciais tem ordem k se o erro global  e (x) desse método for talque  | 
      e (x) | < C (h^k).