(*Resolução  do teste de 11/11, Versão A*)

(*Grupo I *)

(* Função iteradora*)

g[x_]:=1/3(x^2 -x-1)

(* Pergunta 1a*)

(* Verifiquemos se as condições o teorema do ponto fixo se verificam em  I=[-1/3,0] *)

g[0]

g[-1/3]

g'[x]

(* No ntervalo considerado, g'(x)<0, logo g é decrescente em I. Temos g(0)∈ I, g(-1/3)∈I, logo g(I)⊂ I*)

(* Por outro lado g' é contínua e crescente em I; logo |g'| atinge o máximo em -1/3)

g'[-1./3]

(* |g'(1)| < 1, logo estao satisfeitas as condições do teorema do ponto fixo em I*)

(* Pergunta 1b*)

(* Se a sucessão converge, o seu limite é um ponto fixo de g. Calculemos os pontos fixos de g:

Solve[g[x]==x,x]

(* Dos dois pontos fixos só o primeiro pertence ao intervalo considerado. Logo, o limite da sucessão é 2-(Sqrt[5])*)

(* Pergunta 1c*)

NestList[g,-0.2,2]

(* x1= g(x0))=-0.2533333333333333`;x2=g(x1)=-0.2274962962962963`

(* |Z-x2|≲ (L/(1-L))|x1-x2|+9

L=0.5555555555555555 (* VER ALINEA 1A*)

-L/(1-L)*(g[-0.2]-g[g[-0.2]])

(* Pergunta 2*)

Cosideremos a função h(x)=g(x)-x. Esta função é contínua porque g é contínua.
 h(a)=g(a)-a=b-a>0;  h(b)=g(b)-b=a-b<0. Pelo teorema de Bolzano , h tem pelo menos uma raiz z em [a,b], ou seja, h(z)=0, de onde g(z)=z. Para garantir que o ponto fixo é único , basta que h seja monótona, mais precisamente, decrescente, isto é, h'(x)<0 em [a,b]; isto acontece se  g'(x)-1<0, ou seja, g'(x)<1 em [a,b].

(* Grupo II*)

(* Pergunta 1*)

A={{a,3,0},{3,a,3},{0,3,a}}

Inverse[A]

(*||A||=6+|a| *)

(*||(A^(-1))||= (1/(|(a^3)-18a|))max(|(a^2)+9|+9+|3a|, |(a^2)|+|6a|)*)

Quando a → 0, temos ||A||⟶6,||(A^(-1))||⟶∞, logo cond(A)⟶ ∞. Assim, quando a é próximo de 0, o sistema é mal condicionado.

Quando a → (Sqrt[18]), temos ||A||⟶6 +(Sqrt[18]),||(A^(-1))||⟶∞, logo cond(A)⟶ ∞. Assim, quando a é próximo de (Sqrt[18]), o sistema é mal condicionado.

Quando a → ∞, temos ||A||=6 +|a|,||(A^(-1))||=(( |(a^2)|+|6a|)/(|(a^3)-18a|)), logo cond(A) = (( (|(a^2)|+|6a|)(6+|a|))/(|(a^3)-18a|)). Assim, quando  a → ∞  ,  cond(A)⟶1   e o sistema é bem  condicionado.

(*Pergunta 2*)

L={{1,0,0},{3/a,1,0},{0,0,1}}//MatrixForm

U={{a,3,0},{0,a-9/a,3},{0,0,(((a^3)-18a)/((a^2)-9))}}//MatrixForm

Det A=a(a-9/a)(((a^3)-18a)/((a^2)-9)) = (a^3)-18a

Conclusão: A é invertivel se e só se DetA ≠0, isto é a≠0, a≠(Sqrt[18]), a≠-(Sqrt[18])

(*Pergunta 3*)

LA={{a,0,0},{3,a,0},{0,3,a}}

U={{0,3,0},{0,0,3},{0,0,0}}

Inverse[LA]

(* Matriz de iteração *)

CC=Inverse[LA].U

CC//MatrixForm

CharacteristicPolynomial[CC,x]

(* Valores próprios de CC*) Eigenvalues[CC]

(* Raio Espectral de CC*)(18/(a^2))

(* Para que o método de G-S  convirja, o raio espectral de CC 
tem de ser <1, ou seja  (18/(a^2))<1, de onde resulta |a|>(Sqrt[18 ])*)