(*Resolução  do teste de 11/11, Versão B*)

(*Grupo I *)

(* Pergunta 1a*)

(* Verifiquemos se as condições o teorema do ponto fixo se verificam em  I=[1,1.5] *)

(* Função iteradora*)

g[x_]:=1/3(2x+2/x)

Admitamos que
b=1.5 . Verifiquem-se as condições do teorema do ponto fixo.

g[1.]

g[1.5]

g'[x]

g' é positiva em I, logo g é crescente em I

Temos g(1)∈ I, g(1.5)∈I, logo g(I)⊂ I

Máximo da 1ª derivada

g''[x]

A segunda derivada de g é positiva em I, logo g' é crecente

g'[1.5]

L=0.37037<1

Estão satisfeitas as condições do teorema do ponto fixo.

(* Pergunta 1b*)

Solve[g[x]==x,x]

O limite da sucessão é o ponto fixo de g que se encontra no intervalo I, ou seja, z=(Sqrt[2]).

(* Pergunta 1c*)

x1=g[1.5]

x2=g[x1]

Estimativa do erro

L=g'[1.5]

L/(1-L)(x1-x2)

(* Pergunta 2*)

Ordem de convergência:1 (g'não se anula em I)

(* Coeficiente assimptótico de convergência*)

g'[(Sqrt[2])]

(* Grupo II*)

(* Pergunta 1*)

a=.

A={{a,-2,0},{-2,a,-2},{0,-2,a}}

Inverse[A]

(*||A||=4+|a| *)

(*||(A^(-1))||= (1/(|(a^3)-8a|))max(|(a^2)+4|+4+|4a|, |(a^2)|+|4a|) =((|(a^2)|+8+|4a|)/(|(a^3)-8a|))*)

Quando a → 0, temos ||A||⟶4,||(A^(-1))||⟶∞, logo cond(A)⟶ ∞. Assim, quando a é próximo de 0, o sistema é mal condicionado.

Quando a → (Sqrt[18]), temos ||A||⟶4+(Sqrt[18]),||(A^(-1))||⟶∞, logo cond(A)⟶ ∞. Assim, quando a é próximo de (Sqrt[18]), o sistema é mal condicionado.

Quando a → ∞, temos ||A||=4 +|a|,||(A^(-1))||=(( |(a^2)|+|4a|+8)/(|(a^3)-8a|)), logo cond(A) = (( (|(a^2)|+|4a|+8)(4+|a|))/(|(a^3)-8a|)). Assim, quando  a → ∞  ,  cond(A)⟶1   e o sistema é bem  condicionado.

(*Pergunta 2*)

L={{1,0,0},{-2/a,1,0},{0,((-2a)/(a-4)),1}}//MatrixForm

U={{a,-2,0},{0,a-4/a,-2},{0,0,(((a^3)-8a)/((a^2)-4))}}//MatrixForm

Det A= Det L. Det U=a(a-4/a)(((a^3)-8a)/((a^2)-4))=(a^3)-8a

DetA≠0,se e só se a≠0, a ≠∓(Sqrt[8])

(*Pergunta 3*)

LA={{a,0,0},{-2,a,0},{0,-2,a}}

U={{0,-2,0},{0,0,-2},{0,0,0}}

Inverse[LA]//MatrixForm

CC=Inverse[LA].U

CC//MatrixForm

CharacteristicPolynomial[CC,x]

Eigenvalues[CC]

Raio Espectral de C: (8/(a^2))

Para que o método de G-S convirja devemos ter o raio espectral de C menor que 1, ou seja, (a^2)>8, ou ainda |a|>(Sqrt[8]).