PRIMEIRA PARTE -  Grupo I

P[x_] := x^3 - x - 1/4*Cos[x]

Plot[P[x], {x, -1.5, 1.5}]

FindRoot[P[x] == 0, {x, 1}]

FindRoot[P[x] == 0, {x, 0}]

FindRoot[P[x] == 0, {x, -1}]

P'[x]

P''[x]

P'''[x]

P'[-1]

P'[-0.7]

P[-1]

P[-0.7]

P'[-0.5]

P'[-0.2]

P[-0.5]

P[-0.2]

P'[1]

P'[1.5]

N[P[1]]

P[1.5]

g1[x_] := x^3 - 1/4*Cos[x]

g2[x_] := (x + 1/4*Cos[x])^(1/3)

NestList[g1, 0.5, 5]

NestList[g2, 0.5, 5]

(* 
      Estudo da função g1 em [-0.5, -0.2]*)

g1'[-0.5]

g1'[-0.2]

g1''[x]

Plot[g1'[x], {x, -0.5, -0.2}]

g1[-0.5]

g1[-0.2]

g2'[x]

g2'[1. ]

g2'[1.5]

g2''[x]

N[g2[1]]

g2[1.5]

Pode - 
      se  obter convergência quadrática se aplicarmos o método de Newton .  Nesse caso,  
    a função iteradora será

g3[x_] := x  - P[x]/P'[x]

g3[x]

NestList[g3, 1. , 3]

NestList[g3, 0. , 3]

PRIMEIRA PARTE -  Grupo II

A = {{1, 3, 0}, {a, 6, 1}, {0, 1, 2}};

a = 2;
A // MatrixForm

(*Visto que o determinante do segundo menor principal da matriz A é zero, i . e .  det|({{1, 3}, {2, 6}})|=0 será necessario uma troca de linhas para podermos aplicar a factorização de Doolittle .  Há apenas duas possibilidades possiveis para isso :  A'=(({{2, 6, 1}, {0, 1, 2}, {1, 3, 0}})) ou A''=(({{1, 3, 0}, {0, 1, 2}, {2, 6, 1}})). Consideremos a primeira, observando que esta é obtida multiplicando a matriz inicial A pela matriz de permutação P=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}})).*)

P = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
B = {{2, 6, 1}, {0, 1, 2}, {1, 3, 0}};
P . A == B

L = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {1/2, 0, 1}};
U = {{2, 6, 1}, {0, 1, 2}, {0, 
            0, -1/2}};
P . A == L . U

b = {0, 0, 1};

y = LinearSolve[L, P . b]

x = LinearSolve[U, y]

Inverse[A] // MatrixForm

a =. ;
LL = {{0, 0, 0}, {a, 0, 0}, {0, 1, 0}};
DD = {{1, 0, 0}, {0, 6, 0}, {0, 0, 2}};
UU = {{0, 3, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}};
CC = -Inverse[LL + DD] . UU;
CC // MatrixForm

Eigenvalues[CC]

(*O metodo de Gauss-Seidel converge sse ρ(CC)<1, i . e .  sse  | 
          (1/12) (1 + 
                6 a) | <1 cuja solução é a ∈ (-13/6; 11/6)*)

a = 8;
A // MatrixForm

PRIMEIRA PARTE -  Grupo III