RESOLUÇÃO DO EXAME DE 13 de FEVEREIRO DE 2003

I

a) É necessário verificar se o teorema do ponto fixo se aplica à função iteradora:

g[x_] := Sqrt[Cos[x]]

g'[x]

Condições do teorema do ponto fixo:

1) Verifiquemos  que  (max_(xϵ[0.5, 1])) | 
      g' (x) | <1; 
    g' é negativa e  | 
      g' |  é  crescente em [0.5, 1],  
    porque o seno é crescente e o coseno é decrescente .  Logo, 
o máximo de  | 
      g' (x) |  em [0.5, 1] é  | g' (1) |

N[Abs[g'[1]]]

Como L = |g' (1)| < 1,

2) Verifiquemos que g ([0.5, 
            1]) ⊂ [0.5, 1]

g[0.5]

N[g[1]]

já vimos que g' é negativa em [0.5, 1],  
    logo g  é decrescente,  
    e portanto a condição 2 também se verifica.

Conclusão :  pelo teorema do ponto fixo,  
    existe 1 único ponto fixo de g em [0.5, 1],  
    para o qual converge a sucessão considerada.

b)

Na alínea anterior,  
    vimos que L = 
      0.572388 .  Usando a estimativa do erro a priori,  
    temos  | z - (Subscript[x, 10]) | ≤(L^20) | 
      z - (Subscript[x, 0]) | ≺(L^20) | 1 - 0.5 |

(0.572388)^20*0.5

c)

Sendo z o ponto fixo da função iteradora,  
    então z satisfaz z = (Sqrt[cos z]);  logo,  
    (z^2) = cos z e z é a raiz positiva da equação (x^2) -  cos x  = 0.

d)

Para verificar se o método de Newton é aplicável,  
    consideremos a função f (x) = 
      (x^2) -  cos x  no intervalo [0.5, 1].

f[x_] := x^2 - Cos[x]

I)

f[0.5]*f[1]

II)

f'[x]

f'  > 0  em [0.5, 1]

III)

f''[x]

f'' > 0 em [0.5, 1]

IV)

Abs[f[0.5]/f'[0.5]]

Abs[f[1. ]/f'[1]]

Temos  | f[0.5]/f'[0.5] |  < 0.5 e  | 
      f[1]/f'[1] | <0.5

Acabámos de verificar que as condições suficientes para a convergência do método de Newton estão satisfeitas,  ∀ (Subscript[x, 0]) ∈ [0.5, 1] .  Logo,  
    este método converge e a ordem de convergência é 2.

Em relação ao método do ponto fixo,  considerado na alíena a),  
    com a função iteradora g,  é fácil ver que g' (x) ≠ 
      0,  ∀ x  ∈ [0.5, 
            1] (a derivada de g foi estudada na alínea a) .  Logo ,  o método do ponto fixo tem,  neste caso,  
    ordem de convergência 1 e é mais lento que o método de Newton.

II

a)

A = {{1, a, 0}, {a, 2, a}, {0, a, 1}}

Inverse[A]

\(Temos\  || 
        A\( || \_1\) = \(max\ \((\(\(|\)\(a\)\(|\)\(+1\)\), 
            2 | a | \(+2\), \(\(|\)\(a\)\(|\)\(+1\)\))\) = 
        2 | a | \(+2\)\)\)

\(\(\(\ \)\(\(\(||\)\(A\^\(-1\)\)\( || \_1\)\) = \(1\/\(2 - 2\ a\^2\)\) 
        max\ \((\(\(|\)\(2 - 
              a\^2\)\(|\)\(+\(\(|\)\(a\^2\)\(|\)\(+\(\(|\)\(a\)\(|\)\)\)\)\)\), 2 | a | \(+1\))\)\)\)\)

\(cond_  
        1 \((A)\) = \ \(\(||\)\(A\^\(-1\)\)\( || \_1\)\(\ \)\(||\)\(A\)\( || \_1\)\)\)

\(Quando\ a → 1, \ 
    temos || A\( || \_1\)\(\(→\)\(4\ \ \ e\)\)\  || 
      A\^\(-1\)\( || \_1\)\(\(→\)\(∞ . \ 
          Logo\)\), \ 
    cond_  1 \((A)\) -> ∞\ e\ A\ é\ mal\ \(\(condicionada\)\(.\)\)\)

\(Quando\ a → ∞, \ 
    temos || A\( || \_1\)\(\(→\)\(∞\ \ \ e\)\)\  || 
      A\^\(-1\)\( || \_1\)\(\(→\)\(1.  Logo\)\), \ 
    cond_  1 \((A)\) -> ∞\ e\ A\ é\ mal\ \(\(condicionada\)\(.\)\)\)

Teste (não faz parte da correcção , é apenas uma confirmação das conclusões):

B = Inverse[A] /. a -> 100.

MatrixConditionNumber[B]

CC = Inverse[A] /. a -> 0.99

MatrixConditionNumber[CC]

b)

Matiz de iteração do método de Jacobi:

Ci = {{0, -a, 0}, {-a/2, 0, -a/2}, {0, -a/2, 
          0}}

{{0, -a, 0}, {-(a/2), 0, -(a/2)}, {0, -(a/2), 
        0}}

Norma de Ci:

\(\(\(||\)\(Ci\)\( || \_∞\)\) = \(max\ \((\(\(|\)\(a\)\(|\)\), \(\(|\)\(a\)\(|\)\(\(\(/\)\(2\)\)\(+\)\)\(|\)\(a\)\(|\)\(\(/\)\(2\)\)\))\) = \(\(|\)\(a\)\(|\)\)\)\)

Logo,  se  | a | <1,  
    o método de Jacobi converge.

\(Além\ disso, \ 
    temos\  || x\^\((k)\) - \ 
        x\( || \_∞\)\(\(<\)\(\(||\)\(Ci\)\(\( || \_∞\)\^k\)\(||\)\(x\^\((0)\) - \ x\)\( || \_∞\)\)\)\)

\(Supondo\ que\  || 
          x\^\((0)\) - \ 
            x\( || \_∞\)\(\(≤\)\(1\ \ e\ que\)\)\  | 
        a |  = 1/2, temos\)

\(\(\(||\)\(x\^\((k)\) - \ 
        x\)\( || \_∞\)\(\(≤\)\(\((1/
                2)\)\^k\)\)\)\)

Logo,  
    para garantir que  || (x^((k))) -  x || <0.001,  
    deveremos ter k >  (Subscript[Log, 1/2]) (0.001) = 9.96

Log[0.5, 0.001]

Assim,  
    o número mínimo de iterações do método de Jacobi é 10.

c) Seja

A = 
      MatrixForm[{{1. , Sqrt[2], 0}, {Sqrt[2], 2, Sqrt[2]}, {0, Sqrt[2], 
            1}}]

Primeira  linha da matriz U :  (Subscript[u, 11]) = 1, 
    (Subscript[u, 12]) = (Sqrt[2]), (Subscript[u, 13]) = 0;

Primeira  coluna da matriz L :  (Subscript[l, 11]) = 1, 
    (Subscript[l, 21]) = (Sqrt[2]), (Subscript[l, 31]) = 0;

\(Segunda\ \ linha\ da\ matriz\ \(U : \ 
          u\_22\) = \(a\_22 - \(l\_21\) u\_12 = \(2 - \((\@2)\)\^2 = 0\)\); 
    visto\ que\ u\_22\ não\ pode\ ser\ 0, \ 
    torna - se\ necessário\ fazer\ uma\ troca\ \ de\ linhas\ ; 
    troquemos\ a\ 2  ª\ com\ a\ 3  ª . \ Nesse\ caso\)

A1 = 
      MatrixForm[{{1. , Sqrt[2], 0}, {0, Sqrt[2], 1}, {Sqrt[2], 2, 
            Sqrt[2]}}]

A primeira linha de U mantem - se.

Calculemos de novo  a primeira  coluna da matriz L :  
          (Subscript[l, 11]) = 1, (Subscript[l, 21]) = 0, 
    (Subscript[l, 31]) = (Sqrt[2]) . Segunda  linha de U
 (Subscript[u, 22]) = (Subscript[a, 22]) - (Subscript[l, 21]) (Subscript[u, 12]) = (Sqrt[2]) - 0 = (Sqrt[2]);  
    (Subscript[u, 23]) = (Subscript[a, 23]) - (Subscript[l, 21]) (Subscript[u, 13]) = 1 - 0 = 1;

Segunda  coluna de L :  (Subscript[l, 22]) = 1, 
    (Subscript[l, 32]) = (2 - (Subscript[l, 31]) (Subscript[u, 12]))/(Subscript[u, 22]) = 0

Terceira  linha de U :  
          (Subscript[u, 33]) = (Subscript[a, 33]) - (Subscript[l, 31]) (Subscript[u, 13]) - (Subscript[l, 32]) (Subscript[u, 23]) = (Sqrt[2]) - 0 - 
            0 = (Sqrt[2])

Conclusão:

U = 
      MatrixForm[{{1. , Sqrt[2], 0}, {0, Sqrt[2], 1}, {0, 0, 
            Sqrt[2]}}]

L = MatrixForm[{{1. , 0, 0}, {Sqrt[2], 1, 0}, {0, 0, 1}}]

III

1) 
      Comecemos por observar que 
f (x) =  
      x  é um polinómio de primeiro grau,  
    e portanto,  
    o seu polinómio interpolador (com 2 ou mais nós) é ele próprio  .  
          Vejamos agora como se constroi o polinómio interpolador de f (x) =  
      x por meio da fórmula de Lagrange:

(Subscript[P, n]) (x) = (∑_(j = 0)^n) 
              (Subscript[x, j]) (Subscript[l, j]) (x)

Como (Subscript[P, n]) (x) = f (x) = x,  
    fica provada a afirmação

2 - a)Seja (Subscript[ϕ, 0])(x)=1,(Subscript[ϕ, 1]) (x) = sen x,(Subscript[ϕ, 2]) (x) = cos x .  Seja ainda (Subscript[x, 0]) = 0,(Subscript[x, 1]) = π/2, (Subscript[x, 2]) = π,(Subscript[x, 3]) = 3  π/2.

((Subscript[ϕ, 0]), (Subscript[ϕ, 0])) = (∑_(i = 0)^3) 1 = 
        4.

((Subscript[ϕ, 0]), (Subscript[ϕ, 1])) = (∑_(i = 0)^3) 
            sen ((Subscript[x, i])) = 0 + 1 + 0 + (-1) = 0

((Subscript[ϕ, 1]), (Subscript[ϕ, 1])) = (∑_(i = 0)^3) 
            sen ((((Subscript[x, i])))^2) = 0 + 1 + 0 + 1 = 2.

((Subscript[ϕ, 0]), (Subscript[ϕ, 2])) = (∑_(i = 0)^3) 
            cos ((Subscript[x, i])) = 1 + 0 + (-1) + 0 = 0.

((Subscript[ϕ, 1]), (Subscript[ϕ, 2])) = (∑_(i = 0)^3) sen ((Subscript[x, i])) 
            cos ((Subscript[x, i])) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

((Subscript[ϕ, 2]), (Subscript[ϕ, 2])) = (∑_(i = 0)^3) 
            cos ((((Subscript[x, i])))^2) =  1 + 0 + 1 + 0 = 2.

Logo,  a matriz do sistema normal tem a forma

S = MatrixForm[{{4, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 2}}]

Em relação ao segundo membro do sistema,  
    temos

(f, (Subscript[ϕ, 0])) = (∑_(i = 0)^3) f ((Subscript[x, i])) = 1 + 0.5 - 
            1 + 0 = 0.5

(f, (Subscript[ϕ, 1])) = (∑_(i = 0)^3) f ((Subscript[x, i])) 
            sen ((Subscript[x, i])) = sen (0) 1 + sen (π/2) 0.5 - 
            sen (π) + 0 = 0.5

(f, (Subscript[ϕ, 2])) = (∑_(i = 0)^3) f ((Subscript[x, i])) 
            cos ((Subscript[x, i])) = cos (0) 1 + cos (π/2) 0.5 - 
            cos (π) + 0 = 2

Resolvendo o sistema,  obtém-se

4 (Subscript[a, 0]) = 0.5   ⇒ 
          (Subscript[a, 0])=0.125

2 (Subscript[a, 1]) = 0.5   ⇒ 
          (Subscript[a, 1])=0.25

2 (Subscript[a, 2]) = 2   ⇒ 
          (Subscript[a, 2])=1

Conclusão:

g[x_] := 0.125 + 0.25 Sin[x] + Cos[x]

Plot[g[x], {x, 0, 3 Pi/2}]

Calculemos agora Q

fi = {1, 0.5, -1, 0}

xi = {0, Pi/2, Pi, 3 Pi/2}

Q = (∑_(i = 0)^3)(fi[[i + 1]] - 
              g[xi[[i + 1]]])^2

2 - b) 
        Se a função ajustadora for da forma (Subscript[g, 1]) (x) =  a Cos (x),  
    ela é um caso particular das funções ajustadoras , 
    consideradas na alínea anterior (com (Subscript[a, 0]) = 0, (Subscript[a, 1]) = 0, 
          (Subscript[a, 2]) = a) . 
No entanto,  
    vimos que a função ajustadora que minimiza Q é a que se obtém com (Subscript[a, 0]) = 0.125, (Subscript[a, 1]) = 0.25, 
    (Subscript[a, 2]) = 1  e  que,  para essa função,  
    Q = 0.0625 .  Logo,  
    qualquer que seja a,  (Subscript[g, 1]) (x) ≠ g (x),  
    e portanto (Subscript[Q, 1]) > Q = 0.0625.

Outra forma de provar:

Q1[a_] = (∑_(i = 0)^3)(fi[[i + 1]] - 
              a*Cos[xi[[i + 1]]])^2

Logo,  Q1 ≥ 0.25 > Q,  
    qualquer que seja a.

3.

Para obter (Subscript[A, 0]) e (Subscript[A, 1]) pelo método dos coeficientes indeterminados,  é necessário resolver o sistema

(Subscript[A, 0])  + (Subscript[A, 1])  = (∫_0^3) 1 \[DifferentialD]x = 
        3

(Subscript[A, 0])  + (Subscript[A, 1]) 
          2  = (∫_0^3) x \[DifferentialD]x = 1/2 *3^2 = 
          9/2

3 - A1 + 
        2  A1 = 9/2 ⇒ 
          3 + A1 = 9/2 ⇒ 
            A1 = 3/2 ⇒ A0 = 3/2.

Para determnar qual é o grau desta fórmula, 
    calculemos

(Subscript[I, 1]) ((x^2)) = 3/2  .  1  +  3/2.  2^2 = 3/2*5 = 
          15/2

Por outro lado

(∫_0^3) (x^2) \[DifferentialD]x

Por construção,  a fórmula 1 tem,  
    pelo menos,  
    grau 1.  Como vimos,  (Subscript[I, 1]) ((x^2)) ≠ (∫_0^3) (x^2) \[DifferentialD]x . Logo,  
    a fórmula não é exacta para todos os polinómios de grau 2 e por isso ela tem,  exactamente,  
    grau 1.

4

Comecemos por observar que,  
    sendo o passo h = 
      0.1,  é necessário dividir o intervalo [0, 
          0.2] em dois sub - 
      intervalos e efectuar dois passos o método de Euler .  
          Portanto,  temos (Subscript[x, 0]) = 0, 
    (Subscript[x, 1]) = 0.1 e (Subscript[x, 2]) = 
        0.2 e o valor que pretendemos obter é y ((Subscript[x, 2])) ≃ (Subscript[y, 2]).

Para esta equação,  
    temos f (x, y) =  x sen y

Logo,  f ((Subscript[x, 0]), (Subscript[y, 0])) = f (0, 1) = 0; 
    Pelo método de Euler,  obtém - se

(Subscript[y, 1]) = (Subscript[y, 0]) + h f ((Subscript[x, 0]), (Subscript[y, 0])) = (Subscript[y, 0]) = 1

Continuando,  temos

f ((Subscript[x, 1]), (Subscript[y, 1])) = f (0.1, 1) = 0.1 sen 1 = 
          0.0841471

Efectuando mais um passo do método de Euler

(Subscript[y, 2]) = (Subscript[y, 1]) + h f ((Subscript[x, 1]), (Subscript[y, 1])) = 
        (Subscript[y, 1]) + 0.1*0.0841471 ≃ 1.0084

Passemos à majoração do erro

Temos K = max ((∂_y) f (x, 
                y)) = (Subscript[(max  ), x ∈ [0, 
                      0.2]]) (x cos y) ≤ 0.2 * 1 = 
          0.2

Por outro lado,

y'' (x) = (∂_x) f (x, y) + (∂_y) f (x, 
              y)* y'  = sen y  + 
              x *cos y*(x*sen y) ≤ 1 + 0.2*0.2*1 = 
          1.04;  Logo,  Y2 = 1.04

Finalmente  | 
      y (0.2) - 
        y2 | ≤h Y2/
            2 (((e^(K0  .2)) - 1)/K)

Y2 = 1.04; K = 0.2;  h = 0.1

h *Y2/2 ((Exp[K*0.2] - 1)/K)