Análise Matemática III
2º Semestre de 2004/05
Sumários:
- 1ª aula - 28/02/05 - Breve
apresentação e
descrição do programa. Funcionamento da cadeira.
Intervalos em R^n. Partições de um intervalo R^n.
Funções em escada.
- 2ª aula - 1/03/05 - Integrais de
funções em escada.
Exemplos. Noção de conjunto numerável. Os
racionais são numeráveis. Definição de
conjuntos de medida nula.
- 3ª aula - 4/03/05 - Definição e
propriedades de conjuntos de medida nula. Exemplos.
- 4ª aula - 7/03/05 - Exemplos de conjuntos de medida
nula (conclusão). Funções limite superior.
- 5ª aula - 8/03/05 - Exemplos de
funções limite superior. Funções
integráveis e integral. Propriedades. Exemplos, incluindo
funções contínuas em intervalos compactos de R^n.
- 6ª aula - 11/03/05 - Teorema de Fubini.
Aplicações: cálculo de volumes de subconjuntos
limitados de R^n cuja fronteira tem medida nula. Exemplos.
- 7ª aula - 14/03/05 - Exemplos de
aplicações do Teorema de Fubini.
- 8ª aula - 15/03/05 - Exemplos de mudança de
ordem de integração. Definição de
transformação de coordenadas. Exemplos de mudança
de coordenadas: coordenadas polares, coordenadas cilíndricas e
coordenadas esféricas e respectivos jacobianos.
- 9ª aula - 18/03/05 - Mudança de
variáveis de integração: recordar fórmula
de uma variável reinterpretada em termos de |dy/dx| como factor
de transformação de volume. Papel do det no caso linear.
Teorema da tranformação de coordenadas de
integração.
- 10ª aula - 21/03/05 - Exemplos de mudanças de
coordenadas.
- 11ª aula - 22/03/05 - Aplicação ao
cálculo de centros de massa, centróides, massas (cargas)
e momentos de inércia.
- 12ª aula - 1/04/05 - Curvas e caminhos. Exemplos,
incluindo a definição de caminho regular e as ideias de
caminho simples e de multiplicidade. Caminhos equivalentes.
- 13ª aula - 4/04/05 - Comprimento: noção
de aproximação por vectores inscritos; fórmula
para caminhos regulares; exemplos. Comprimentos iguais para caminhos
equivalentes. Integrais de linha para campos escalares.
Aplicações ao cálculo de massas de filamentos, etc.
- 14ª aula - 5/04/05 - Integrais de linha de
campos vectoriais. Interpretação física. Trabalho
ao longo de caminhos equivalentes igual a menos de sinal.
Propriedades do integral. Exemplos.
- 15ª aula - 8/04/05 - Trabalho de uma força
constante como exemplo de um campo conservativo. Teorema
Fundamental do Cálculo para integrais de linha. Campos
gradientes e campos potenciais.
- 16ª aula - 11/04/05 - Condições
necessárias e suficientes para que um campo vectorial seja um
gradiente. Campos fechados.
- 17ª aula - 12/04/05 - Homotopia. Conjuntos
simplesmente conexos. Invariância de integrais de linha de campos
fechados sobre caminhos homotópicos.
- 18ª aula - 15/04/05 - Teorema de Green. Exemplos.
- 19ª aula - 18/04/05 - Campos radiais. Exemplos.
- 20ª aula - 19/04/05 - Teorema da Função
Inversa. Exemplos.
- 21ª aula - 22/04/05 - Conclusão dos exemplos
sobre o Teorema da Função Inversa. Revisões.
- 22ª aula - 26/04/05 - Teorema da Função
Implícita. Exemplos.
- 23ª aula - 29/04/05 - Conclusão do Teorema da
Função Implícita. Noção de variedade
diferenciável (como conjunto de nível). Variedades como
gráficos de funções. Exemplos.
- 24ª aula - 2/05/05 - Noção de
parametrização de uma variedade diferenciável.
Exemplos. Espaço tangente e espaço normal.
- 25ª aula - 3/05/05 - Espaço tangente e
espaço normal (continuação). Exemplos.
- 26ª aula - 6/05/05 - Extremos condicionados.
Método dos
multiplicadores de Lagrange. Exemplos.
- 27ª aula - 9/05/05 - Conclusão do
método dos multiplicadores de Lagrange. Integrais em variedades:
áreas de superfícies.
- 28ª aula - 10/05/05 - Integral de um campo escalar
numa variedade. Aplicações: massa, coordenadas do centro
de massa, momento de inércia.
- 29ª aula - 13/05/05 - Orientabilidade de
superfícies em R³. Fluxos de campos vectoriais
através de superfícies orientáveis em R³.
Exemplos.
- 30ª aula - 16/05/05 - Teorema da Divergência.
Exemplos.
- 31ª aula - 17/05/05 - Teorema da Divergência:
exemplos (conclusão). Interpretação
geométrica da divergência. Fronteira de uma
superfície e orientação da fronteira
compatível com a orientação da superfície.
- 32ª aula - 20/05/05 - Teorema de Stokes. Exemplos.
- 33ª aula - 23/05/05 - Relação entre
divergência, gradiente e rotacional. Cálculo de potenciais
vectores.
- 34ª aula - 24/05/05 - Relembrar a
definição de função limite superior e
função integrável. Teorema da Convergência
Monótona. Exemplos.
- 35ª aula - 27/05/05 - Teorema da Convergência
Dominada de Lebesgue. Aplicações incluindo
funções potência.
- 36ª aula - 30/05/05 - Conclusão das
aplicações dos teoremas da Convergência
Monótona e Dominada.
- 37ª aula - 31/05/05 - Diferenciação de
funções definidas por integrais. Regra de Leibnitz.
Exemplos.
- 38ª aula - 3/06/05 - Revisões.
- 39ª aula - 6/06/05 - Aula de dúvidas.
- 40ª aula - 7/06/05 - Aula de dúvidas.