GEOMETRIA RIEMANNIANA - 1º
Semestre de 2004/2005
Programa
- Variedades: Variedades diferenciáveis;
aplicações diferenciáveis;
espaço tangente; imersões e mergulhos; campos
vectoriais, fluxos de campos vectoriais, parêntesis de Lie;
grupos de Lie; revisão de orientabilidade, variedades com bordo,
formas
diferenciais, integração em variedades e teorema de
Stokes; campos tensoriais.
- Métrica: Variedades
Riemannianas,
isometrias, métricas invariantes à esquerda;
conexões afins,
conexão de Levi-Civita; geodésicas, propriedades
minimizantes de geodésicas; teorema de Hopf-Rinow.
- Curvatura:
Tensor de
curvatura, curvatura seccional, tensor de Ricci, curvatura escalar;
formas de
conexão
e de curvatura, equações estruturais de
Cartan; curvatura de Gauss; imersões isométricas de
superfícies no espaço de dimensão três,
aplicação de Gauss, curvaturas média e de Gauss,
teorema de Gauss, primeira e segunda formas fundamentais.
- Aplicações:
Índice de um campo vectorial numa
singularidade;
característica de Euler; teoremas de
Gauss-Bonnet e de Morse; Relatividade Geral.
Bibliografia
- Manfredo Perdigão de Carmo, Geometria Riemanniana,
IMPA (1988);
- Manfredo Perdigão do Carmo, Differential Forms and Applications,
Springer (1994);
- W. Boothby, An Introduction to
Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press;
- L. Godinho e J. Natário, An Introduction to
Riemannian Geometry with Applications, Textos de apoio
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Last Update: 4
de Agosto de 2004
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