curso por Manuel Arala Chaves (Universidade do Porto
e Associação Atractor)
Anúncio:
Nos cursos básicos de análise, surgem por vezes «enunciados
óbvios», cuja demonstração resiste mais do que esperado à partida.
Em alguns casos, porque demonstrações elementares são inesperadamente
complicadas; noutros, porque os «resultados óbvios» são falsos
(frequentemente com contra-exemplos difíceis de encontrar) - estes
são por vezes chamados casos patológicos.
Dois exemplos:
- será que uma função real contínua (em todos os pontos) pode não ter
derivadas - mesmo só laterais, mesmo possivelmente infinitas - em
nenhum ponto? A resposta é sim.
- será que uma curva pode «encher» um quadrado? E um cubo? E ... ? A
resposta, surpreendentemente, vai depender do grau de regularidade
que se exigir na definição de curva.
As palestras andarão
à volta de questões deste tipo, procurando analisar alguns exemplos
concretos, mas também enquadrá-los num tratamento unificado. De
passagem, ver-se-á ainda que a situação «patológica» é por vezes a
genérica e a «não patológica» a excepcional; e serão comparados dois
modos (não equivalentes) de avaliar o carácter «excepcional» de uma
situação.
Bibliografia de apoio:
Ralph Boas, A Primer of Real Functions,
The Carus Mathematical Monographs, 13,
Mathematical Association of America (1996).
Bernard Gelbaum & John Olmsted, Counterexamples in Analysis,
Dover (2003).
John Oxtoby, Measure and Category,
Springer-Verlag (1971).
Hans Sagan, Space-Filling Curves,
Springer Verlag (1994).
Michael Spivak, Calculus,
Publish or Perish (1994).
Lynn Steen & Arthur Seebach, Counterexamples in Topology,
Dover (1995).
