curso por Rui Loja Fernandes (Instituto Superior Técnico)
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A divisão tradicional da Matemática nas três áreas fundamentais,
Álgebra, Análise e Geometria, subsiste até aos dias de hoje. Embora a
Matemática contemporânea cada vez menos possa ser caracterizada dessa forma
(quer pela sua natureza multidisciplinar, quer pelas novas áreas que não
encaixam nesta divisão tradicional), numa breve excursão pelo mundo da
Matemática vale a pena visitar cada uma dessas áreas.
Nas sessões deste curso iremos estudar pequenas demonstrações
de alguns resultados elementares (mas fundamentais) de cada uma das áreas
tradicionais. A ideia em cada sessão é transmitir
os sabores e os odores de uma das áreas. O que têm de comum todos os
exemplos que escolhemos são as ideias brilhantes e as observações
astuciosas, ou seja, afinal as características do pensamento matemático do
passado, do presente e do futuro.
Plano das sessões com problemas ilustrativos:
1ª e 2ª sessões: A Casa dos Números
Uma infinidade de primos. Algoritmo de Euclides. O Teorema fundamental da
aritmética. Congruências e os anéis Zp.
Problema: Quando é que um número natural é a soma de dois quadrados?
3ª e 4ª sessões: A Galeria de Arte
Grafos e rectas no plano. Poliedros e símplices. A fórmula de Euler.
Problema: Dados n pontos não-colineares no plano, será que existe uma recta
que passa exactamente por dois desses pontos?
5ª sessão: O Hotel de Hilbert
Números cardinais. A hipótese do contínuo. Números ordinais.
Problema: Será que existe uma curva contínua no plano que visita todos os
pontos do interior dum quadrado?
Referência:
Martin Aigner & Günter Ziegler, Proofs from THE BOOK,
Springer-Verlag, Berlin (2001).