1ª lição: O axioma das paralelas
O axioma das paralelas proposto por Euclides nos seus
Elementos
foi durante muito tempo objecto de uma tentativa de demonstração
a partir de outros axiomas da geometria euclidiana.
No século XIX foi finalmente demonstrada a independência
deste axioma e foram estabelecidas outras geometrias.
Serão abordadas as diferenças e semelhanças entre as geometrias
euclidiana, esférica e hiperbólica.
2ª lição: Geometria esférica
Serão demonstrados teoremas elementares da geometria e trigonometria
esféricas.
3ª lição: Geometria hiperbólica
Serão apresentados alguns modelos para a geometria hiperbólica e
demonstrados alguns teoremas elementares desta geometria.
4ª lição: Geometria e topologia
As superfícies orientáveis podem ser classificadas
pelo número de "buracos" que têm.
Veremos que cada uma destas superfícies está relacionada
com uma das três geometrias discutidas anteriormente
e que a geometria hiperbólica é a mais comum.
5ª lição: Geometrias tridimensionais
Em dimensão 3, o número de geometrias eleva-se a oito,
entre as quais se encontram os análogos das três
geometrias bidimensionais.
Esta classificação será discutida e serão abordadas
as relações entre a geometria e a topologia em dimensão 3.
