Cálculo Diferencial e Integral I

semestre - 2014/2015

 Licenciaturas em Engenharia Informática e de Computadores, Engenharia de Telecomunicações e Informática, Engenharia e Gestão Industrial e Engenharia Eletrónica

Corpo Docente:

António Bravo (responsável) - abravo@math.tecnico.ulisboa.pt 

Programa

Números reais. Números naturais. Princípio de indução matemática. Densidade dos números racionais e irracionais no conjunto dos reais. 

 

Sucessões. Sucessões limitadas e monótonas. Sucessão convergente. Cálculo de limites. Subsucessões. Sucessão contractiva.

 

Funções reais de variável real. Continuidade e diferenciabilidade. Continuidade e limite. Funções contínuas em intervalos: Teoremas de Weierstrass e de Bolzano. Continuidade da função inversa. Diferenciabilidade. Regras operatórias da derivação. Derivada da função composta. Derivada da função inversa. Teoremas de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações. Fórmula de Taylor.

 

Integral de Riemann. Definição do integral de Riemann. Critérios de integrabilidade. Integrabilidade de funções monótonas e limitadas. Propriedades do integral. Integral indefinido. Teorema fundamental do cálculo. Métodos gerais de integração. Integração por partes e por substituição. Integração de funções racionais e irracionais. Integração de funções trigonométricas.

 

Séries numéricas. Condição necessária de convergência. Série geométrica. Operações algébricas com séries. Séries absolutamente convergentes. Critério geral de comparação. Critério de D'Alembert. Majoração do erro da soma aproximada de uma série. Séries de potências. Definição de funções transcendentes elementares.

Bibliografia

•          M. Abreu, R.L. Fernandes e M. Ricou, Folhas de Cálculo Diferencial e Integral I., 2009.

•          R. G. Bartle, D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley, 3ª ed., 2000.

•          A. Bastos,  A. Bravo. Cálculo Diferencial e Integral I, Texto de apoio às aulas., 2010.

•          A. Bastos,  A. Bravo. Cálculo Diferencial e Integral I, Complementos ao texto de apoio às aulas., 2014.

•          J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 8a ed., 2005.

•          S. Ghorpade, B.Limaye, A Course in Calculus and Real Analysis, Springer, 2006.

•          J. P. Santos, Cálculo numa variável real, IST Press, 2013.

•          M. Spivak, Calculus, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2006.

•          Exercícios de Análise Matemática I e II, IST Press, 2005.

•          W. Trench,  Introduction to Real Analysis, Trinity University.

Avaliação de conhecimentos

A avaliação de conhecimentos consiste em dois testes e um exame. O primeiro teste realiza-se a 11 de Abril e o segundo a 8 de Junho, ambos às 9 horas. No exame, dia 29 de Junho às 13 horas, os alunos podem, se o pretenderem, melhorar a classificação de um dos testes. A este exame podem comparecer todos os alunos que não tenham tido aprovação na disciplina ou que pretendam melhorar a classificação obtida.

 

Nas aulas práticas existe ao longo do semestre uma avaliação facultativa. Essa avaliação será realizada em 4 aulas práticas ao longo do semestre de acordo com a seguinte tabela

 

Números reais. Sucessões.

(4ªsemana)

Continuidade e diferenciabilidade de funções reais.

(7ªsemana)

Cálculo integral.

(12ªsemana)

Séries.

(14ªsemana)

 

 

 

Classificação mínima a obter nos exercícios das aulas práticas (*)

Média Testes/Exame

 

Classificação final

CCCD

9,0-9,4

 

10

CCCC

8,5-8,9

 

10

BBCC

8,0-8,4

 

10

 

 

 

 

BBCC

9,5-10,4


11

ABCC ou BBBC

10,5-11,4

 

12

AACC, BBBB ou ABBC

11,5-12,4

 

13

ABBB ou AABC

12,5-13,4

 

14

AABB ou AAAC

13,5-14,4

 

15

AAAB

14,5-15,4

 

16

AAAA

15,5-16,4

 

17

 

 (*) A- Muito Bom; B- Bom; C- Satisfaz; D- Não Satisfaz.

 

 

As classificações superiores a 16 valores nos Testes/Exame não serão influenciadas pela avaliação das aulas práticas. A classificação das aulas práticas só influenciará a classificação final caso melhore a classificação obtida nos Testes/Exame.

 

Os alunos com classificação final superior a 17 valores podem ser convocados para se apresentar a exame oral. A não realização deste exame oral limita a classificação máxima a 17 valores.

 

Horário de Dúvidas

As sessões de esclarecimento de dúvidas têm lugar na sala de dúvidas do Departamento de Matemática.

 
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