Álgebra Linear A

LEAer e LMAC - Outono 2003

Parte I Equações e Transformações Lineares

(30/Set) sistemas de equações lineares, métodos de eliminação de variáveis e de adição de equações

(2/Out) eliminação de Gauss-Jordan, sistemas determinados, impossíveis e indeterminados, notação matricial

(3/Out) álgebra de matrizes: operações, propriedades, exemplos

(7/Out) método de Gauss para matrizes, formas escalonadas, inversão de matrizes

(9/Out) transformações lineares, exemplos, propriedades e caracterização, imagem

(10/Out) caracterização e exemplos de imagem e núcleo, composição e inversão de transformações lineares

Parte II Espaços Vectoriais

(14/Out) subespaços vectoriais de Rⁿ, combinação linear, independência linear, base, propriedades das bases

(16/Out) subespaço gerado por vectores, espaço das colunas de uma matriz, característica, nulidade

(17/Out) espaços vectoriais, bases, coordenadas, dimensão finita e infinita, espaços de funções, de matrizes e de equações

(21/Out) revisão de números complexos, operações, nomenclatura, coordenadas polares

(23/Out) coordenadas, mudanças de base, matriz de mudança de base; TESTE 1 às 16h

(24/Out) transformações lineares, representação matricial, mudança de base, matrizes semelhantes, núcleo, imagem, inversão

Parte III Produto Interno e Determinante

(28/Out) produto interno usual e ortogonalidade em Rⁿ, norma, bases ortonormais, complemento ortogonal e projecção ortogonal

(30/Out) teorema de Pitágoras, desigualdade de Cauchy-Schwarz, ângulo, desigualdade triangular, ortogonalização de Gram-Schmidt

(31/Out) produto interno (geral), exemplos, revisão dos conceitos e resultados sobre produto interno, decomposição ortogonal, soma directa

(4/Nov) TESTE 2

(6/Nov) transformações ortogonais, matrizes ortogonais, transpostas e simétricas, matriz de uma projecção ortogonal

(7/Nov) determinantes, caso de matrizes 2x2 e 3x3, permutações, caso geral, regra de Sarrus, propriedades

(11/Nov) cálculo de determinantes, critério para a invertibilidade de uma matriz, menores, fórmula de Laplace, regra de Cramer

(13/Nov) aplicação da regra de Cramer ao cálculo de matrizes inversas, matriz dos cofactores, determinante como área ou volume

(14/Nov) valores próprios e vectores próprios, polinómio característico, multiplicidade algébrica, traço

Parte IV Diagonalização

(18/Nov) espaços próprios, subespaços invariantes, exemplos, multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica

(20/Nov) bases próprias, independência linear vectores próprios associados a valores próprios diferentes, matrizes semelhantes

(21/Nov) matrizes diagonalizáveis, diagonalização, existência de valores próprios, teorema fundamental da álgebra

(25/Nov) TESTE 3

(27/Nov) valores e vectores próprios complexos, diagonalização em Cⁿ, determinante e traço em termos de valores próprios

(28/Nov) bloco de Jordan, forma canónica de Jordan, decomposição de Jordan, vector próprio generalizado

Parte V Aplicações e Complementos

(2/Dez) formas canónicas de Jordan para matrizes 3x3, casos com um e com três blocos de Jordan, exercícios

(4/Dez) formas canónicas de Jordan para matrizes 3x3, caso com dois blocos de Jordan, exercícios

(5/Dez) aplicação da forma canónica de Jordan à resolução de sistemas de equações diferenciais, exponencial de matrizes

(9/Dez) TESTE 4

(11/Dez) diagonalização ortogonal, teorema espectral (uma matriz é ortogonalmente diagonalizável sse é simétrica)

(12/Dez) matrizes hermiteanas, anti-hermiteanas e unitárias, matrizes normais, diagonalização ortogonal

(16/Dez) formas quadráticas, matrizes (semi-)definidas positivas/negativas ou indefinidas, classificação das cónicas

(18/Dez)

(19/Dez)

Última actualização: 16 de Dezembro de 2003