Análise Matemática III, Outono 2000

para alunos de Física e Matemática

Responsável: Ana Cannas da Silva
Email: acannas@math.ist.utl.pt
Aulas teóricas: 2ª, 4ª e 6ª feiras, 16-17h, na sala GA4
Aulas práticas: 6ª feiras, 10-12h na sala Q5 para Matemática, e 6ª feiras, 13-15h na sala V114 para Física
Horário de dúvidas: 3ª feiras, 10-13h, e 4ª feiras 17-17h30, na sala de dúvidas do departamento de Matemática (cave 02 do edifício de Pós-Graduação) ou por marcação
Vitrina da cadeira: no piso 2 do edifício de Pós-Graduação

Avisos:

As notas finais foram lançadas na secretaria de graduação no dia 26 de Fevereiro de 2001.

Materiais da cadeira:

Anúncio em ficheiro PostScript ou PDF (contém o programa, a bibliografia e as regras da avaliação)
Teste 1 para praticar (com soluções sumárias) em ficheiro PostScript ou PDF
Teste 1 de 11/Nov. (com soluções sumárias) em ficheiro PostScript ou PDF
Teste 2 para praticar (com soluções sumárias) em ficheiro PostScript ou PDF
Teste 2 e Exame 1 de 16/Jan. (com soluções sumárias) em ficheiro PostScript ou PDF
Exame 2 de 1/Fev. (com soluções sumárias) em ficheiro PostScript ou PDF
Fichas de exercícios:

Ficha	Exercícios para avaliação	Data limite para avaliação: entregar até à aula teórica de...	Exercícios suplementares (não são para entregar)	Soluções sumárias
1	Spivak - 1.10, 1.14, 1.16, 1.25, 2.1, 2.6, 2.10 (a)-(c)	6ª feira, 29 de Setembro	Spivak - 1.7, 1.20, 2.7	em ficheiro PostScript ou PDF
2	Spivak - 2.17 (d)-(f), 2.18, 2.24, 2.32 e Fleming - §4.5(pág.147) #1, §4.6(pág.152) #1 e 3	6ª feira, 13 de Outubro	Spivak - 2.20, 2.29, 2.37 e Fleming - §4.5(pág.147) #2 e 3, §4.6(pág.152) #2 e 4	em ficheiro PostScript ou PDF
3	Fleming - §4.7(pág.159) #2 e 3, §4.8(pág.165) #1 e 3, §5.1(pág.170) #3, §5.2(pág.180) #4 e 8, §5.3(pág.185) #1, §5.4(pág.190) #2 e 3	6ª feira, 27 de Outubro	Fleming - §4.7 #9-13, §4.8 #5 e 6, §5.1 #4 e 5, §5.2 #1 e 3, §5.3 #4, §5.4 #4	em ficheiro PostScript ou PDF
4	Fleming - §5.5(pág.199) #2 e 4, §5.6(pág.205) #4, §5.8(pág.216) #4, §5.9(pág.220) #1 e 5, §5.11(pág.236) #5, §5.12(pág.239) #1 e 4	4ª feira, 8 de Novembro	Fleming - §5.5 #3, 5 e 6, §5.6 #1, 2 e 3, §5.8 #2 e 3, §5.9 #3, 6 e 7, §5.11 #1, 2, 8 e 9, §5.12 #3 e 5	em ficheiro PostScript ou PDF
5	Fleming - §7.1(pág.282) #5, §7.4(pág.295) #2, 4 e 6, §7.5(pág.305) #2, 4 e 6, §7.6(pág.309) #2, §7.7(pág.311) #1 e 3	2ª feira, 27 de Novembro	Fleming - §7.1 #3 e 4, §7.3 #1, 2 e 3, §7.4 #1, 3 e 5, §7.5 #1 e 5, §7.7 #4	em ficheiro PostScript ou PDF
6	Fleming - §8.1(pág.329) #1,2, §8.2(pág.333) #2, §8.3(pág.340) #3 e 6, §8.4(pág.349) #1 e 2, §8.6(pág.356) #1, §8.7(pág.361) #2 e 5	4ª feira, 20 de Dezembro	Fleming - §8.1 #3, §8.2 #1 e 4, §8.3 #1, 4, 5 e 7, §8.4 #3 e 5, §8.6 #2, §8.7 #1, 3 e 4	em ficheiro PostScript ou PDF
7	-	-	Fleming - §8.7(pág.361) #7 e 9, §8.8(pág.366) #1 e 2, §8.10(pág.375) #1 e 2	-

As fichas de exercícios e outros materiais vão sendo incluídos nesta página ao longo do semestre.

Alguns materiais de apoio para o curso geral:
-textos de apoio (preparados pelo Prof. Gabriel Pires)
-resoluções de exercícios-tipo e exercícios-teste (organizados pelo Prof. João Pimentel Nunes et al.)
-exercícios de cálculo diferencial e integral (preparados pelo Prof. João Palhoto Matos et al.)

Se tiver dificuldades em processar ou aceder a documentos em formatos PostScript ou PDF click aqui.
(Os ficheiros PDF são legíveis com Acrobat Reader que se pode obter grátis de Adobe Systems para um grande número de sistemas operativos.)

Objectivo:

$\begin{displaymath}\int_{\partial M} \omega = \int_M d \omega \end{displaymath}$
(Cálculo integral de funções e de formas diferenciais em Rⁿ e em variedades em Rⁿ, com vista ao teorema de Stokes e à formulação das equações da Mecânica e do Electromagnetismo.)

Programa:


Parte I Variedades em Rⁿ (18 Setembro - 6 Outubro)
Texto principal: capítulo 4 do livro por W. Fleming referido abaixo
Semana 1 Derivação em Rⁿ, matriz jacobiana, regra da cadeia, derivadas parciais
Semana 2 Teoremas da função inversa e da função implícita
Semana 3 Variedades, gráficos e conjuntos de nível, extremos condicionados

Parte II Integração em Rⁿ (9 Outubro - 3 Novembro)
Texto principal: capítulo 5 do livro por W. Fleming
Semana 4 Integral de Lebesgue, medida de Lebesgue, integrais em Rⁿ
Semana 5 Integrais sobre conjuntos limitados, integrais iterados, teorema de Fubini
Semana 6 Mudança de variáveis, coordenadas polares, cilíndricas e esféricas
Semana 7 Teoremas de convergência, regra de Leibniz

Parte III Formas Diferenciais (6-24 Novembro)
Texto principal: capítulo 7 do livro por W. Fleming
Semana 8 Covectores, álgebra multilinear, tensores alternantes, álgebra exterior
Semana 9 Formas diferenciais, leis de transformação, derivada exterior
Semana 10 Casos especiais de formas-1, formas-2 e dimensão 3

Parte IV Integração em Variedades (27 Novembro - 22 Dezembro)
Texto principal: capítulo 8 (e capítulo 6) do livro por W. Fleming
Semana 11 Medida e integração de funções, integral de linha de campos escalares
Semana 12 Orientação, integração de formas, integral de linha, fluxo
Semana 13 Teoremas da divergência, de Green e de Stokes
Semana 14 Aplicações físicas, formas fechadas e exactas, homotopia

Bibliografia:

Texto Principal:

W. Fleming, Functions of Several Variables, Springer-Verlag, 1977.

Outros Textos Relevantes:

T. Apostol, Calculus, volume II, John Wiley & Sons, Inc., 1969.
T. Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Co., 1974.
L. Magalhães, Complementos de Cálculo Diferencial, AEIST, 1984.
L. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Editora, 1993.
L. Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Editora, 1996.
M. Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, Inc., 1965.

Avaliação:

TESTES E EXAMES
A nota dos testes ou exames é, consoante a opção de cada aluno:

ou a média das notas dos dois testes, com cada teste a contribuir 50%, desde que a nota de cada teste não seja inferior a 8,
ou a nota do exame final.

FICHAS E AULAS PRÁTICAS
A nota prática é a soma das cinco melhores notas nas fichas de exercícios. A nota com avaliação contínua é a média da nota dos testes ou exames com peso 70%, e da nota prática com peso 30%, desde que a nota dos testes ou exames não seja inferior a 8.
APROVAÇÃO NA CADEIRA
A nota final é a maior de entre:

a nota dos testes ou exames, e
a nota com avaliação contínua.
A nota mínima de passagem é 10.
ORAIS
Qualquer nota final superior a 17 tem que ser defendida numa prova oral a combinar com a responsável pela cadeira no final do período de exames; se não for defendida, uma tal nota passa a 17.

(As notas são números inteiros entre 0 e 20; quando arredondadas a partir de médias ou somas com algarismos decimais segue-se a regra habitual de tomar o inteiro mais próximo, sendo as cinco décimas arredondadas para um.)

Regras para as fichas de exercícios e aulas práticas:

Os alunos devem-se inscrever durante a primeira semana de aulas preenchendo uma ficha e fornecendo uma fotografia (aceita-se também uma boa fotocópia).
Há ao todo 6 fichas de exercícios distribuídas e recolhidas quinzenalmente nas aulas teóricas das 6ª feiras. As fichas nunca podem ser entregues em atraso!
A discussão dos exercícios entre grupos nas aulas práticas e fora delas é encorajada. No entanto o trabalho entregue deve ser individual e pode ser sujeito a discussão oral.
A resolução de cada ficha deve ser apresentada em folhas agrafadas, todas bem identificadas e indicando no cabeçalho da primeira folha o nº da ficha, o nº da turma, o nome do aluno e o nº de aluno.
Cada ficha é composta por até 10 exercícios de dificuldade não superior a problemas de exame ou teste. Apenas um desses exercícios (não especificado previamente) é corrigido e avaliado com uma nota de 0 a 4.
As fichas corrigidas são devolvidas nas aulas práticas junto com uma breve solução. Ao receber cada ficha corrigida, o aluno deve conferir logo a correcção; as notas de fichas não podem ser revistas após a aula em que são devolvidas.
A nota de cada ficha é a nota da correcção rectificada de acordo com o desempenho observado nas aulas práticas e com a eventual discussão do trabalho entregue. A não comparência a mais de metade das aulas práticas anula a avaliação contínua.
As aulas práticas permitem: complementar a exposição das aulas teóricas, trabalhar em grupo, discutir dúvidas, orientar o desempenho na cadeira, adiantar a resolução das fichas e demonstrar a evolução dos conhecimentos para avaliação.

Regras para os testes e exames:

Há duas datas de exame, um primeiro teste no Sábado, dia 11 de Novembro, de manhã e um segundo teste na data do primeiro exame. Os exames têm a duração de 3 horas e os testes duram hora e meia.
Matéria para o primeiro teste: partes I-II do programa.
Matéria para o segundo teste: partes III-IV do programa.
É obrigatória a inscrição para os testes ou exames a que o aluno deseje comparecer. As inscrições são efectuadas junto ao gabinete do Sr. Carvalhosa no piso 2 do edifício de Pós-Graduação até dois dias úteis antes da prova.
As inscrições para o segundo teste e para o primeiro exame são conjuntas, podendo cada aluno decidir durante essas provas (a realizar em simultâneo) qual a que prefere entregar.
Os alunos só podem apresentar-se a provas munidos de identificação válida: cartão de aluno do IST ou bilhete de identidade.
Nos testes ou exames não é permitido utilizar máquinas calculadoras nem quaisquer materiais de consulta.
Um aluno que tenha obtido aprovação com o primeiro exame ou com os testes pode comparecer ao segundo exame para melhoria de nota.

Links para:

Outras páginas de Análise Matemática III no Outono de 2000:
- Página para os cursos de Civil e Território (Responsável: João Pimentel Nunes)
- Página para os cursos de Minas, Materiais, Naval, Ambiente, Aeroespacial, Mecânica, Eng. Biológica, Eng. Química, Lic. Química (Responsável: Gabriel Pires)
- Página para os cursos de Electrotecnia e Gestão (Responsável: Pedro Ferreira dos Santos)
- Página para o curso de Informática (Responsável:José Natário)
Páginas de arquivo de Análise Matemática III:
- Arquivo do departamento de Matemática
- Arquivo do Outono de 1999 para os cursos de Física e Matemática (Responsável: João Palhoto Matos)
- Arquivo do Outono de 1999 para os cursos de Electrotecnia e Gestão (Responsável: Gustavo Granja)
- Arquivo do Outono de 1999 para o curso de Mecânica (Responsável: Pedro Gonçalves Henriques)
Guia da Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica 1999/2000
Página da Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação
Biblioteca
Secretaria
SOP (horários, etc.)
Regulamento e calendário para 2000/2001

Última actualização: 26 de Fevereiro de 2001