LEAero, LEBiom, LEFT, LMAC, LCI - Outono 2005
Sumários das aulas teóricas
Parte I Variedades em Rn
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(12/Set.)
topologia em Rn - abertos, coberturas, compactos, continuidade
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(13/Set.)
derivação de funções de Rn em Rm - diferenciabilidade,
matrizes jacobianas, derivadas parciais
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(15/Set.)
invertibilidade global e local de funções, exemplos,
teorema da função inversa, esquema da demonstração, jacobiano
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(19/Set.)
teorema da função implícita, exemplos, relação com o teorema
da função inversa, derivadas da função implícita
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(20/Set.)
variedades, exemplos, parametrizações locais,
conjuntos de nível vs. gráficos de funções
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(22/Set.)
extremos (não condicionados), derivadas de ordem superior,
fórmula de Taylor em Rn, aplicação ao estudo de pontos críticos
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(26/Set.)
extremos condicionados, gradiente, regra dos multiplicadores de Lagrange,
espaço tangente, espaço normal
Parte II Integração em Rn
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(27/Set.)
partições de intervalos em Rn, funções em escada,
integrabilidade à Riemann de funções limitadas em intervalos limitados
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(29/Set.)
integração em Rn - Riemann vs. Lebesgue,
medida nula e conteúdo nulo, exemplos de conjuntos com conteúdo nulo
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(3/Out.)
conjuntos numeráveis, exemplos de conjuntos com medida nula,
propriedades válidas q.t.p. (quase em toda a parte)
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(4/Out.)
funções limite superior,
integrabilidade à Lebesgue de funções limitadas em conjuntos limitados,
exemplos, propriedades
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(6/Out.)
integrais iterados, teorema de Fubini, exemplo, ideia da demonstração
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(10/Out.)
teste 1
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(11/Out.)
aplicações e exemplos de integrais iterados,
integração em conjuntos que não são intervalos, casos em R2
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(13/Out.)
integrais iterados em R3,
aplicações físicas (volume, centro de massa, momento de inércia, etc.),
exemplos
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(17/Out.)
mudança de coordenadas, definição, teorema para integrais,
ideia da demonstração, exemplos, coordenadas polares
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(18/Out.)
coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas,
exemplos em cálculo de integraiss
(20/Out.)
aula cancelada por motivo de saúde
Parte III Formas Diferenciais
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(24/Out.)
covectores, espaço dual de Rn, covectores-r,
consequências de multilinearidade e alternância
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(25/Out.)
covectores-r, bases standard, exemplos, produto exterior,
associatividade, super-comutatividade
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(27/Out.)
formas diferenciais, formas-1, diferenciais dxi,
derivada exterior de uma função, formas-2, formas-r
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(31/Out.)
teste 2
(1/Nov.)
feriado
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(3/Nov.)
formas diferenciais em R3, produto exterior de formas diferenciais,
derivada exterior de formas
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(7/Nov.)
propriedades da derivada exterior, gradiente, rotacional, divergência,
formas fechadas vs. exactas, lema de Poincaré, potenciais
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(8/Nov.)
pullback de covectores e de formas, propriedades, exemplos
(10/Nov.)
aula cancelada por motivo de saúde
Parte IV Integração em Variedades
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(14/Nov.)
revisão de variedades, parametrizações, cartas, coordenadas,
mudança de coordenadas, exemplos
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(15/Nov.)
integração de funções sobre subconjuntos de variedades,
partição da unidade
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(17/Nov.)
integração de formas sobre subconjuntos de variedades,
orientação de espaços vectoriais e de variedades, exemplos
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(21/Nov.)
teste 3
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(22/Nov.)
casos clássicos de integração em variedades: integral de linha
(para campos escalares ou vectoriais), integral de superfície
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(24/Nov.)
apanhado de integração em variedades, preparação para o teorema de Stokes:
domínio regular, orientação normal exterior
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(28/Nov.)
versões do teorema de Stokes: teor. divergência, teor. Green,
teor. Gauss-Ostrogradsky, teor. clássico de Stokes e versão geral
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(29/Nov.)
domínios seccionalmente regulares, homotopia,
lema de Poincaré para domínios simplesmente
conexos
(1/Dez.)
feriado
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(5/Dez.)
aplicações e exemplos de integrais de linha de campos vectoriais,
campos conservativos
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(6/Dez.)
demonstração da versão geral do teorema de Stokes
(8/Dez.)
feriado
Parte V Revisões e Complementos
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(12/Dez.)
teste 4
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(13/Dez.)
teoremas de convergência para integrais de Lebesgue
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(15/Dez.)
derivada de uma função dada por um integral: regra de Leibniz
(19/Dez.)
teste de recuperação
Última actualização:
19 de Dezembro de 2005