1ª Aula .I.Problema da queda livre dum corpo: a aceleração do corpo igual a g=const. A velocidade como a antiderivada da aceleração. O caminho percorrido como a antiderivada da velocidade (pode ver outros exemplos de dinâmica em [5], pag. 274). Definição de primitiva.

 2ª Aula.I.1.Primitivação. Definição de primitiva. Funções primitiváveis: exemplos. A função de Heaviside como exemplo de função não primitivável. Proposição sobre a diferença de duas primitivas duma função primitivável num intervalo ser constante (pag. 469 [2], pag. 269 [5]). A importância do intervalo na primitivação. A função 1/x é primitivável de ]-§, 0[ e de ]0,+§[, por exemplo.

 3ª Aula.I.2. Métodos gerais de primitivação: primitivação imediata, primitivação por decomposição, primitivação por partes e primitivação por substituição. Exemplos da primitivição por decomposição. Linearidade da primitivação (pag. 472 [2]). Fórmula da primitivação por partes. Teorema sobre a primitivação por substituição (pag. 480 [2]).

 4ª Aula.I.3. Cálculo integral (introdução). Cálculo da área delimitada por x=0, x=1 e abaixo do gráfico da função f(x)=x^2, utilizando o método de exaustão. Aspectos numéricos do método de exaustão (aconselha-se a visitar o seguinte web site). I.4. O integral de Riemann. Decomposição do intervalo. Soma inferior e superior de Darboux.

 5ª Aula.I.4. (Continuação) Refinamento da decomposição. Proposição sobre a existência de supremo para as somas inferiores (ou seja, de integral inferior de Darboux) e de infímo para as somas superiores (ou seja, de integral superior de Darboux) (pag. 516 [2], Proposições 5.1-3 e [6]). Definição de integral de Riemann (ou integral definido) como o valor comum aos dois números anteriores. Exemplo da função constante, como função integrável em I=[a,b]. A função de Dirichlet como exemplo de função não integrável em I=[a,b].

 6ª Aula.I.5. O integral definido para uma função linear f(x)=x, utilizando o valor médio da função num subintervalo (ver ainda a próxima aula). Observação sobre somas de Riemann e definição alternativa de integral de Riemann (pag. 552 [2]). I.6 Integrabilidade das funções monótonas e contínuas. Teorema sobre a integrabilidade das funções monótonas limitadas em I (pag. 522 [2], Teorema 5.6 [6]) e das funções contínuas limitadas em I (pag. 521 [2] pag. 72 [6]). Teorema sobre a integrabilidade das funções seccionalmente contínuas (pag. 532[2]).

 7ª Aula.I.7. Propriedades do integral : linearidade (pag. 522 [2], pag. 72 [6]), monotonia (pag. 526 [2], pag. 75 [6]), módulo do integral menor ou igual ao integral do módulo (pag. 527 [2], pag. 75 [6]), o integral da união dos intervalos I (pag. 530 [2], pag. 73 [6]) e os teoremas dos valores médios para funções integráveis e contínuas I (pag. 536, 537 [2], pag. 314 [5]).

 8ª Aula.I.8. O integral indefinido F(x) e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Teorema Fundamental do Cálculo (1ª parte): o integral indefinido F(x) para funções f contínuas (pag. 542 [2], pag. 317 [5]) e f integráveis (pag. 76 [6]), como a anti-derivada nos pontos de continuidade de f (pag. 76 [6]).

 9ª Aula.I.8. (Continuação) Teorema Fundamental do Cálculo (2ª parte): para funções contínuas e primitiváveis tem lugar a Regra de Barrow (pag. 543 [2], pag. 317 [5]). Consequências do TFC: estudo da continuidade e diferenciabilidade do integral indefinido F(x), gráficos da função F(x), máximos e mínimos de F(x), dedução de equações do movimento com valores iniciais.

 10ª Aula.I.9. Métodos gerais de integração: integração por decomposição (pag. 543 [2], pag. 317 [5]), integração por partes e por substituição (pag. 543 [2], pag. 317 [5]). Alteração do intervalo de integração como consequência da substituição da variável.

  11ª Aula.I.9. (Continuação) Teorema da derivada do integral indefinido F(x) entre a=const e u=g(x) (pag. 543 [2], pag. 317 [5]). Exemplos de funções integráveis e não primitiváveis, primitiváveis e não integráveis e integráveis e primitiváveis e não contínuas.

 12ª Aula.I.10. Métodos de integração e primitivação de funções racionais (pag. 482 [2], pag. 531 [5], pag. 82 [6]). Exemplos de integração e primitivação de funções racionais próprias e impróprias com redução a uma soma de um polinómio e funções racionais simples (polinómios irredutíveis no denominador).  

 13ª Aula.I.11. Aplicações do cálculo integral. I.11.1 Cálculo de áreas de figuras planas: aproveitamento de simetrias e possibilidade de integrar com respeito a y (pag. 578 [2], pag. 531 [5]).

 14ª Aula.I.11.2. Cálculo do comprimento de uma linha. Gráfico rectificável e comprimento do gráfico como o supremo dos comprimentos de todas as poligonais inscritas no gráfico (pag. 581 [2], pag. 332 [5]).

 15ª Aula.I.11.2.(Continuação) Cálculo do comprimento de gráficos de funções contínuas com primeira derivada contínua. Exemplos (pag. 586 [2], pag. 389 [5]). I.11.3. Cálculo de volumes de sólidos de revolução: fórmula e exemplos (pag. 370 [5]).

 16ª Aula.II. Cálculo em Rⁿ (introdução). Exemplo da fonte de radiação de calor: gráfico e linhas de nível. II.1 Funções escalares de várias variáveis: exemplos de determinação do domínio de funções de 2 e 3 variáveis (pag. 2 [3], pag. 389 [5]). II.2. Gráficos e curvas de nível. Exemplos: parabolóide circular, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico, elipsóide e plano em R^3

 17ª Aula.II.2. Exemplos de superfícies de nível: esfera, elipsóide, hiperbolóide. II.3.1. Estrutura algébrica de Rⁿ : adição de vectores, multiplicação de um vector por um escalar, produto interno.

 18ª Aula. II.3.1. (Continuação) Estrutura algébrica de Rⁿ : norma e distância entre vectores. Propriedades da norma: positividade, homogeneidade, desigualdade triangular e desigualdade de Cauchy-Schwarz (pag. 13 [3], Teorema 7.1.1 [6]). II.3.2. Estrutura topológica de Rⁿ : bola aberta de centro num ponto a e raio e. Exemplos de bolas abertas em R, R² e R³ (pag. 27 [3], Definição 7.2.1 [6]).

 19ª Aula. II.4. Sucessões em Rⁿ : sucessões coordenadas de ordem j. Operações com sucessões: adição de sucessões, multiplicação de uma sucessão por um escalar, produto interno e norma de sucessões. Sucessão convergente para um ponto de Rⁿ . Critério de convergência com base na convergência das sucessões coordenadas (pag. 28 [3], Teorema 7.3.6 [6]).

 20ª Aula. II.5. Continuidade de funções escalares segundo Heine. Critério de continuidade baseado na convergência das sucessões coordenadas (pag. 62, Teorema 1 [3], Teorema 7.4.12 [6]). Estudo da continuidade de funções polinomiais, racionais e outras. Prova de continuidade por estimativas. Exemplo de uma função racional prolongável por continuidade ao zero do polinómio denominador. Prova de descontinuidade pela existência de limites diferentes para transformados de sucessões particulares. Exemplo de uma função racional não prolongável por continuidade ao zero do polinómio denominador.

 21ª Aula. II.6. Continuidade de funções escalares segundo Cauchy (Definição de função escalar contínua). Critério de continuidade baseado na imagem de bolas abertas. Prova da continuidade de uma função prolongável por continuidade ao zero do denominador com base no critério de Cauchy. Propriedades da combinação linear de funções, do produto e da divisão de funções escalares contínuas.

 22ª Aula. II.7. Pontos interiores, exteriores e fronteiros a um conjunto X, subconjunto de Rⁿ. Exemplos em R e R² . Aderência ou fecho dum conjunto. Abertos e fechados de Rⁿ . Algumas propriedades de conjuntos abertos e fechados.

 23ª Aula. II.8. Limite de funções escalares em pontos a aderentes (segundo Heine). Se a não pertence ao domínio, existir limite da função f em a é equivalente a f ser prolongável por continuidade ao ponto fronteiro. Limite de funções escalares em pontos aderentes (segundo Cauchy ). Prova da existência de limite duma função prolongável por continuidade ao ponto (0,0) com base no critério de Cauchy. Propriedades dos limites da combinação linear de funções, do produto e da divisão de funções escalares com limite num ponto. II.9. Limites direccionais. Exemplo duma função racional com limites diferentes segundo direcções diferentes no zero do polinómio denominador.

 24ª Aula. II.9. (Continuação) Limites segundo conjuntos. Exemplo duma função racional com limites iguais segundo todas as direcções, mas sem limite no pontos , uma vez que possui um limite diferente segundo um ramo duma parábola. Definição de limite segundo conjuntos. Mais exemplos de funções com limites direccionais todos iguais, mas sem limite num dado ponto. Esquema geral de verificação da continuidade ou da existência de limite num ponto para funções escalares.

 25ª Aula. II.10. Limite e continuidade da função composta. Exemplos do cálculo de limites de funções compostas. II.11. Funções vectoriais de variável vectorial. Domínio, contra-domínio e gráfico.

 26ª Aula. II.11. (Continuação) Algumas curvas paramétricas: circunferência, cardióide, figura de Lissajous, hélice cilindrica. Superfícies paramétricas: esfera, elipsóide, toro. Passagem a coordenadas polares como uma função vectorial de R² em R². Projecções de Rⁿ em R^m com m<n: projecções da intersecção do hipercubo com um hiperplano (3d) em R3 e R2 .

 27ª Aula. II.12. Continuidade de funções vectoriais segundo Cauchy e Heine. Exemplo da continuidade das projecções ortogonais de Rⁿ em R. A rotação dos cubos. A passagem às coordenadas polares, exemplo duma função contínua. Estudo da continuidade e limite de funções escalares em R² após a passagem a coordenadas polares.

 28ª Aula. II.12. (Continuação) Continuidade global como continuidade das funções coordenadas. Continuidade da função composta. Propriedades da soma, produto e divisão de funções contínuas.

 29ª Aula. II.13. Limite de funções vectoriais. Critério de Cauchy e de Heine. Limite duma função vectorial num ponto como o vector cujas coordenadas são os limites das funções coordenadas nesse ponto. Exemplos de cálculo de limites de funções vectoriais. Propriedades operatórias do limite.

 30ª Aula. II.14. Introdução ao cálculo diferencial em Rⁿ: derivadas segundo uma direcção u, derivadas direccionais (u é unitário) e derivadas parciais. Cálculo de derivadas parciais pela definição: exemplo. Regra de cálculo para derivadas parciais. Cálculo de derivadas parciais pela regra dada. Interpretação geométrica das derivadas parciais em R².

 31ª Aula. II.15. Diferenciabilidade de funções escalares: vector gradiente. Definição de diferenciabildade num ponto (existência do vector gradiente). Continuidade e diferenciabilidade de funções escalares. Proposição sobre como a diferenciabilidade implica sempre a continuidade. Teorema sobre funções de classe C¹ , i.e., funções contínuas com derivadas parciais contínuas: qualquer função desta classe é diferenciável no seu domínio e, consequentemente, existe o vector gradiente em todos os pontos do domínio.

 32ª Aula. Diferentes notações para o vector gradiente. Exemplos de cálculo de vectores gradientes em R² e R³ . II.16.Gradientes e derivadas direccionais. Propriedades operatórias do gradiente. Para funções diferenciáveis, a derivada direccional segundo qualquer direcção u é dada pelo produto interno do vector gradiente com o vector unitário u.

 33ª Aula. II.17. Aspectos geométricos do vector gradiente: linhas e planos tangentes. Propriedades do gradiente: a função cresce mais rapidamente na direcção do gradiente não-nulo e o gradiente não-nulo é sempre prependicular às linhas ou superfícies de nível. Exemplos gráficos para funções com domínio em R²: gradiente 1 e gradiente 2, onde as zonas mais escuras correspondem a valores mais baixos da função. Dedução das equações cartesianas das rectas tangentes e normais a uma linha de nível em em R². Dedução das equações cartesianas do plano tangente num ponto e da recta normal a uma superfície de nível em R³.

 34ª Aula. II.18. Derivada global duma função vectorial. A derivada num ponto como uma aplicação linear e a respectiva representação matricial: matriz jacobiana Determinar se uma dada função é diferenciável com base na definição: um exemplo no caso duma função de R² em R²

  35ª Aula. II.18. (Continuação) Condição suficiente de diferenciabilidade duma função vectorial: todas as derivadas parciais de 1ª ordem têm de ser contínuas. Funções vectoriais de classe C¹ . Regras operatórias da derivada global (pag. 81 [6]).

 36ª Aula. II.19. Derivada da função composta e representação da derivada como o produto de duas matrizes. Exemplos de cálculo de derivadas da composição de funções de classe C¹ com domínios em R, R² e R³. Regra da cadeia.

  37ª Aula. II.20. Derivadas de ordem superior à primeira. "Árvore" de derivadas parciais (até à terceira ordem) da função f(x,y,z)=xsen(yz). Teorema de Shwarz: para funções de classe C^p as derivadas mistas até à ordem p podem obter-se por derivação do mesmo número de vezes de cada uma das variáveis segundo uma ordem arbitrária.

  38ª Aula. II.21. Fórmula de Taylor para funções escalares de classe C^p. Breve resumo da Fórmula de Taylor no caso real (pag. 393 [2]). Exemplos de aplicação da fórmula de Taylor de uma variável no estudo do comportamento da função nas proximidades dum extremo (máximo, mínimo ou inflexão) da função*).

  39ª Aula. II.21. Fórmula de Taylor para funções escalares com domínio em R². Exemplos de aplicação da fórmula de Taylor de duas variáveis ao estudo do comportamento da função nas proximidades dum ponto de estacionaridade (máximo, mínimo ou sela) da função*).

*) Veja ainda na página web do Prof. Jorge Almeida as Notas sobre a fórmula de Taylor e …, onde pode encontrar vários exemplos de aplicação ao estudo de pontos de estacionaridade de funções escalares

Análise Matemática II (LEM)