Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica
2º Trabalho
Análise e Simulação Numérica
Licenciatura em Eng. Ambiente
Licenciatura em Química		 TRABALHO nº 22
o trabalho deve ser entregue até 
4 de Junho de 2004.
Deve ser entregue uma disquete com os 
programas e um relatório até 12 páginas.
1. Foi observada a seguinte evolução de uma população de micro-organismos:
 
T  2 4 7 8 10 11 15
X 8.770 5.970 3.890 3.360 2.690 2.330 1.440

em que T representa o tempo de medição (em dias) e X um valor aproximado da população (em milhares).

a)
(i) Construa um programa que a partir de uma lista de pontos devolva o polinómio interpolador.
(ii) Através dos valores obtidos em quatro dias determine um polinómio interpolador de forma a prever qual a população nos dias 3, 5, 6 e 9.
(iii) Efectue uma extrapolação para prever a população no instante inicial, usando dois ou três conjuntos de nós de interpolação, escolhidos na tabela.
(iv) Através de interpolação inversa em 4 nós, preveja em que instante a população atingiu o valor 3.000, descrevendo esse instante em termos de dias, horas e minutos.
b)
Verificou-se (a posteriori) que essa população continha três tipos de micro-organismos, cuja população decrescia de forma diferente:
- micro-organismo A: XA(T) = A exp(-0.5 T),
- micro-organismo B: XB(T) = B exp(-0.2 T),
- micro-organismo C: XC(T) = C exp(-0.1 T),
em que A, B e C designa o valor inicial da população para os micro-organismos A, B e C (respectivamente).
Partindo das 3 funções base, determine a melhor aproximação

X(t) = XA(T) + XB(T) + XC(T)
no sentido dos mínimos quadrados. Construa um programa geral e aplique à tabela dada.
Conclua com uma previsão do número inicial de micro-organismos (de cada tipo) e com a previsão de X no dia 5.
c) Admita que o modelo para X descrito em b) é exacto, mas que os valores dados para a população têm um erro relativo, inferior a 10%. Calcule um majorante para o erro relativo em a) e em b) na previsão da população nos instantes 0 e 5.
Comente os resultados.

2. Considere o seguinte crescimento na concentração de uma substância química (poluente):
 
T  0 2 3 4 6 8 9 10 12
c' 0 0.1 0.2 0.740 1.350 1.130 1.05 0.950 0.820

em que T é o tempo (em horas) e em que c(t) indica a concentração da substância (mg/m3) no instante t. O crescimento da concentração é dado pela derivada c'.

a) Construa algoritmos que devolvam a aproximação de um integral usando as Regras dos Trapézios e de Simpson, com nós igualmente espaçados.
b) Dispondo apenas de um valor intermédio, c(4) = 23 mg/m3, pretende-se determinar um valor aproximado para c(0) e c(12). Use a Regra dos Trapézios para calcular c(0) e a de Simpson para c(12), aproximando o integral de  c' (considere apenas os nós apropriados).
c) Apresente uma estimativa de erro, através de uma aproximação das derivadas de ordem superior usando diferenças divididas. Genericamente, poderá assumir que o máximo de |f (n)(x)| é aproximado pelo máximo de n! f[x0,...,xn] usando os valores tabelados.