Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica
2º Trabalho
Análise e Simulação Numérica
Licenciatura em Eng. Ambiente
Licenciatura em Química		 TRABALHO nº 23
o trabalho deve ser entregue até 
4 de Junho de 2004.
Deve ser entregue uma disquete com os 
programas e um relatório até 12 páginas.
1. Foi observada a seguinte evolução de uma população de micro-organismos:
 
d  3 4 7 8 10 11 15
M 4.510 3.750 3.110 3.130 3.300 3.460 4.710

em que d representa o tempo de medição (em dias) e M um valor aproximado da população (em milhares).

a)
(i) Construa um programa que a partir de uma lista de pontos devolva o polinómio interpolador.
(ii) Através dos valores obtidos em quatro dias determine um polinómio interpolador de forma a prever qual a população nos dias 5, 6 e 9.
(iii) Efectue uma extrapolação para prever a população no instante inicial, usando dois ou três conjuntos de nós de interpolação, escolhidos na tabela.
(iv) Através de interpolação inversa em 3 nós, preveja os dois instantes em que a população atingiu o valor 4.000, descrevendo esse instante em termos de dias, horas e minutos.
b)
Verificou-se depois que essa população continha três tipos de micro-organismos, cuja população crescia (ou decrescia) de forma diferente:
- micro-organismo X: MX(d) = A exp(-0.4 d),
- micro-organismo Y: MY(d) = B exp(-0.2 d),
- micro-organismo Z: MZ(d) = C exp(+0.1 d),
em que X, Y e Z designa o valor inicial da população para os micro-organismos X, Y e Z (respectivamente).
Partindo das 3 funções base, determine a melhor aproximação

M(d) = MX(d) + MY(d) + MZ(d)
no sentido dos mínimos quadrados. Construa um programa geral e aplique à tabela dada.
Conclua com uma previsão do número inicial de micro-organismos (de cada tipo) e com a previsão de M no dia 6.
c) Admita que o modelo para M descrito em b) é exacto, mas que os valores dados para a população têm um erro relativo, inferior a 10%. Calcule um majorante para o erro relativo em a) e em b) na previsão da população nos instantes 0 e 6.
Comente os resultados.

2. Considere o seguinte crescimento na concentração de uma substância química (poluente):
 
T  0 2 4 8 12 14 16
q' 0 0.5 0.740 1.350 1.130 1.950 1.820

em que T é o tempo (em horas) e em que q(t) indica a concentração da substância (mg/m3) no instante t. O crescimento da concentração é dado pela derivada q'.

a) Construa algoritmos que devolvam a aproximação de um integral usando as Regras dos Trapézios e de Simpson, com nós igualmente espaçados.
b) Dispondo apenas do valor inicial, q(0) = 7 mg/m3, pretende-se determinar um valor aproximado para q(16). Use a Regra dos Trapézios e de Simpson para aproximar o integral de  q' (considerando apenas nós apropriados).
c) Apresente uma estimativa de erro, através de uma aproximação das derivadas de ordem superior usando diferenças divididas. Genericamente, poderá assumir que o máximo de |f (n)(x)| é aproximado pelo máximo de n! f[x0,...,xn] usando os valores tabelados.