e de Sistemas |
Este capítulo poderia perfeitamente ser apenas chamado Resolução de Equações, já que podemos encarar um sistema como um caso particular de uma equação, num sentido lato. Mas, nesse caso, a generalidade do título, poderia sugerir um âmbito global, fora do alcance de uma cadeira elementar de Análise Numérica.
O objectivo deste capítulo é simplesmente, de apresentar os métodos mais usuais para aproximar a solução de equações em R ou a solução de sistemas em Rn.
Podemos separar, quer as equações, quer os sistemas, em dois grupos: Lineares e Não Lineares.
Equações |
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Sistemas |
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No caso das Equações Lineares,
resolver ax=b é tão trivial quanto o algoritmo da divisão... que
na realidade só é trivial, porque o encaramos como uma operação elementar,
executada pelo processador. Para avaliarmos a complexidade inerente, bastará
experimentar programar as operações elementares de forma a obter, por exemplo,
100 casas decimais!
Quanto aos Sistemas Lineares, se ignorarmos os problemas numéricos resultantes
da resolução de sistemas de grande dimensão, a resolução de um sistema linear, usando
um método directo (p.ex: a eliminação de Gauss), é a posteriori computacionalmente
mais simples do que a divisão!
Já no caso de trabalharmos com Equações (ou Sistemas) Não Lineares, os Métodos Directos só nos são possíveis, ou familiares, para casos muito particulares como é o caso da "fórmula resolvente para a equação do segundo grau", já conhecida na Antiguidade.
Mas já as fórmulas resolventes para as equações de terceiro ou quarto grau, apesar de existirem, não nos são familiares, devido à sua complexidade (com efeito resistiram 2000 anos, até que, no sec. XVI, Tartaglia e Cardan as deduziram). Se trabalharmos com equações algébricas de grau superior ao quarto, essa fórmula resolvente já não é possível como foi provado no sec. XIX graças aos trabalhos de Galois e Abel.
Por estas razões torna-se imprescindível obter outros métodos, não directos, para podermos chegar à solução destas equações não lineares. Isso será possível através dos Métodos Iterativos.
Primeiro, retomamos a Álgebra Linear relativamente aos métodos para a resolução de Sistemas Lineares, mas sob o ponto de vista numérico, dado que nas aplicações é muito frequente encontrar sistemas de grande dimensão, onde convém optimizar o número de operações realizadas e evitar problemas de condicionamento ou estabilidade, que podem levar a grandes erros.
II.1 - MÉTODOS DIRECTOS para Sistemas Lineares
II.2.1 - MÉTODOS ITERATIVOS para Equações Não Lineares
MÉTODOS ITERATIVOS para Sistemas