MÉTODO do PONTO FIXO

Vamos introduzir um método fundamental, importante para resolver qualquer equação.

A ideia consiste em estabelecer uma equivalência:

f(x) = 0 <=> x = g(x)

A partir deste ponto, o método consiste em

Escolher uma iterada inicial x0
Iterar xn+1 = g(xn)

Considerando g contínua, se o método convergir, converge para um certo z (a que chamamos ponto fixo de g) tal que:

z = g(z)

este ponto z, pela equivalência estabelecida, será uma raiz da equação, ou seja f(z) = 0.

Geometricamente, podemos ter as seguintes situações:

.

Definição:
Uma função g contínua em [a, b] diz-se Lipschitziana se existir um L > 0 tal que :

| g(x) - g(y) | < L | x - y | , para quaisquer x, y em [a, b]

Se L < 1 a função diz-se Contractiva.

Proposição:
Se g é uma função diferenciável em [a, b], e temos |g'(x)| < L < 1, para x em [a, b], então a função g é contractiva nesse intervalo.

dem:
Usando o T. Lagrange, sabemos que, para quaisquer x, y em [a,b]

| g(x) - g(y) | = |g'(c)| |x-y| , para um certo c em ]x, y[ C [a, b]

concluimos, aplicando a hipótese.

Teorema (do PONTO FIXO em R):
Seja g uma função contínua em [a, b].
Se g fôr contractiva em [a, b], e se g([a, b]) C [a, b] ,
então

  • g tem um e um só ponto fixo z em [a,b]
  • A sucessão xn+1 = g(xn) converge para esse ponto fixo z, dado qualquer x0 em [a, b].

    demonstração:

  • Existência (de ponto fixo)
    Consideramos uma função auxiliar h(x) = g(x) - x , contínua,
    como g([a, b]) C [a, b] temos g(a) > a, g(b)< b assim h(a) h(b) < 0, logo pelo Teor. Valor Intermédio, existe um z : h(z) = 0, ou seja g(z)=z.

  • Unicidade (do ponto fixo)
    Supondo que g é contractiva e z e w são pontos fixos de g em [a,b] , temos:
    | z - w | = | g(z) - g(w) | < L |z - w|,
    logo (1 - L) | z - w | < 0 e como L < 1 podemos concluir que | z - w |=0, ou seja, z=w.

  • Convergência
    É fácil ver por indução que se x0 pertence a [a,b], qualquer xn também pertence.
    Basta reparar que xn+1= g(xn) e que g([a, b]) C [a, b] .

    Por outro lado, temos
    | z - xn+1 | = | g(z) - g(xn) |< L | z - xn |

    Logo | z - xn+1 | < Ln+1 | z - x0 | ——> 0, pois L < 1 e temos | z - x0 | < | a - b |

    Corolário:
    Seja g uma função C1( [a, b] ).
    Se

  • g([a, b]) C [a, b] ,
  • L = max[a,b] | g'(x) | < 1
    então as condições do T. Pto. Fixo são verificadas e temos:
  • g tem um e um só ponto fixo z em [a,b]
  • A sucessão xn+1 = g(xn) converge para esse ponto fixo z, dado qualquer x0 em [a, b].

    Corolário:
    Verificadas as condições do Teorema do Ponto Fixo, temos ainda as seguintes majorações de erro:

  • | z - xn | < Ln | z - x0 |
  • | z - xn | < 1/(1- L) | xn+1 - xn |
  • | z - xn | < Ln/(1- L) | x1 - x0 |

    Para além disto, nas condições do Teorema do Ponto Fixo, temos :

  • Se 0 < g'(x) < 1 então a convergência é monótona (ou seja, as iterações ficam todas à direita [à esquerda] da raiz, se a iterada inicial estiver à direita [à esquerda] da raiz).
  • Se -1 < g'(x) < 0 então a convergência é alternada (ou seja, as iterações vão ficar alternadamente à esquerda e à direita da raiz)

    Portanto, no caso de asseguramos convergência alternada, sabemos que a raiz irá sempre pertencer a intervalos em que os extremos são xn e xn+1.

    Teorema (Divergência):

    Seja g uma função diferenciável tal que | g'(x) | > 1 em [a,b]. Neste caso, a sucessão xn+1=g(xn) não pode convergir para um ponto fixo z de g situado nesse intervalo (a única excepção será se, numa certa iterada, obtivermos "acidentalmente" o ponto fixo z ).

    Teorema (Convergência Local):

    Seja z um ponto fixo de g, função diferenciável numa vizinhança de z, tal que |g'(z)|<1, então a sucessão xn+1=g(xn) converge para z, desde que x0 esteja suficientemente próximo de z.

    Definição (Ordem de Convergência):

    Consideremos uma sucessão (xn) convergente para z.
    Ao valor p tal que:

    chamamos Ordem de Convergência, e ao valor Koo chamamos coeficiente assimptótico de convergência.
  • Se p=1 a convergência diz-se Linear.
  • Se p=2 a convergência diz-se Quadrática.
  • De um modo geral, se p>1 a convergência diz-se Supra-linear.

    Proposição :
    Nas condições do teorema do ponto fixo, a convergência é linear se g'(z)=/=0 e o coeficiente assimptótico de convergência é |g'(z)|.

    dem:
    Usando o Teorema de Lagrange, sabemos que

    | xm+1 - z | = | g(xm) - g(z) | = | g'(cm) | | xm - z |

    com cm num intervalo aberto cujos extremos são xm e z.
    Logo, dividindo e passando ao limite, temos:
    pois cm tende para z, já que o extremo xm do intervalo tende para z. Como suposemos que g'(z)=/=0, concluimos o teorema.

  • Podemos agora perguntar qual será a ordem de convergência quando g'(z)=0. O teorema seguinte dá-nos a resposta:

    Teorema (Convergência Supra-Linear):

    Seja g uma função C p( I ), onde I é um intervalo que é uma vizinhança de z,
    ponto fixo de g, com p > 2.

    Se

    g'(z) = ... = g(p-1)(z) = 0 com g(p)(z)=/=0,
    então:

    ou seja, o método do ponto fixo tem convergência de ordem p.