Neste capítulo vamos estudar métodos para aproximar a função primitiva F, resultante de integrar uma função conhecida f. Poderiamos encarar este problema numa perspectiva geral, em que o objectivo seria aproximar uma solução de uma equação diferencial, já que o este caso corresponde a encontrar F tal que F' = f.
Mais concretamente, basta-nos concentrar na integração
de uma função f num certo intervalo [a, b].
A ideia base é aproveitar a aproximação por interpolação
polinomial, que já estudámos, para obter uma aproximação
razoável da função integranda através de polinómios,
que são funções fáceis de integrar.
Um exemplo simples é aproximar a função por rectas
interpoladoras nos pontos a e b,
claro que, neste caso, a aproximação pode estar desajustada, e podemos melhorar a aproximação, usando, por exemplo, um polinómio de grau superior ou um spline linear.
Dum modo geral, com vista a aproximar o integral
I(f ) = | ó
õ |
b
a |
f(x) dx |
vamos considerar fórmulas de integração
(também designadas fórmulas de quadratura) do tipo:
Q(f ) = | n
S i =1 |
Ai f( xi ), |
onde x0 , ... , xn são pontos conhecidos,
pertencentes ao intervalo [a, b], designados por nós de integração,
e os coeficientes A0 , ... , An são
coeficientes a determinar, independentes da função f,
que designamos pesos.
Um critério habitual, para determinar os pesos na fórmula de quadratura, é exigir que se obtenha o valor correcto do integral de polinómios de um certo grau.
Assim, se a fórmula verificar
Se, para além disso, tivermos
In ( 1 ) = I ( 1 ) |
In ( x ) = I ( x ) |
... |
In ( xm ) = I ( xm ) |
ì
ï ï ï ï ï ï í ï ï ï ï ï ï î |
|
Para que o sistema seja possível e determinado, impomos que m = n, obtendo-se assim
é
ê ê ê ê ë |
|
ù
ú ú ú ú û |
é
ê ê ê ê ë |
|
ù
ú ú ú ú û |
= | é
ê ê ê ê ë |
|
ù
ú ú ú ú û |
Q(f ) = I(pn) = | ó
õ |
b
a |
N
S i =0 |
f(xi) li(x) dx = | N
S i =0 |
f(xi) | ó
õ |
b
a |
li(x) dx |
Ai = | ó
õ |
b
a |
li(x) dx |
Trata-se do caso mais simples de Fórmula de Newton-Cotes fechada. Neste caso, consideramos n=1 e temos dois nós de integração:
e obtemos para os valores dos pesos:
A0 = A1 = ( b - a ) / 2
( isto pode ser obtido, quer através da resolução do sistema do método dos coeficientes indeterminados, quer através dos integrais dos polinómios de Lagrange, l0(x) e l1(x) )
Temos assim a Regra dos Trapézios (simples):
T( f ) = ( f(a) + f(b) ) ( b - a ) / 2 |
que corresponde exactamente ao valor da área do trapézio definido pela recta interpoladora!
Teorema (do Valor Intermédio para Integrais):
Sejam f , g funções contínuas em [a,b].
Se g não muda de sinal no intervalo [a,
b] temos :
ó
õ |
b
a |
f(x) g(x) dx = f(x) | ó
õ |
b
a |
g(x)dx, para certo x Î[a, b] |
e como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal
no intervalo [a, b] podemos aplicar o Teorema do Valor Intermédio
para Integrais e obtemos
ó
õ |
b
a |
f[a, b, x] (x-a)(x-b) dx = f[a, b, x] | ó
õ |
b
a |
(x-a) (x-b) dx, para certo x Î[a, b] |
e supondo que f é C2[a, b], obtemos a fórmula do erro:
E( f ) = - | (b-a)3
12 |
f '' (x), para certo x Î[a, b] |
Para simplificar, consideramos que o tamanho desses sub-intervalos é
constante = h.
Assim, definimos h = ( b - a ) / N, onde N é o
número de sub-intervalos ( = número de nós - 1), e
temos:
I(f ) = | ó
õ |
b
a |
f(x) dx = | N
S i =1 |
ó
õ |
xi
xi-1 |
f(x)dx, |
logo, aplicando a regra dos trapézios simples a cada um desses
sub-intervalos, obtemos
TN(f ) = | h
2 |
N
S i =1 |
(f(xi-1)+f(xi)), |
Reparando que há termos que aparecem repetidos
na soma, podemos simplificar a expressão, e obtemos a Regra dos
Trapézios Composta:
TN(f ) = h ( | f(a) + f(b)
2 |
+ | N-1
S i =1 |
f(xi)), |
EN(f ) = - | N
S i =1 |
h3
12 |
f '' (xi) = - | h3N
12 |
( | 1
N |
N
S i =1 |
f '' (xi) ) |
EN(f ) = - | (b-a) h2
12 |
f '' (x), onde xÎ[a,b] |
n = 2 | h = (b-a)/2 | x0 = a | x1= c = a+h | x2 = b |
a fórmula de integração será do tipo
e podemos obter os pesos A0, A1, A2, resolvendo o sistema linear
é
ê ê ë |
|
ù
ú ú û |
é
ê ê ë |
|
ù
ú ú û |
= | é
ê ê ë |
|
ù
ú ú û |
A0 = | ó
õ |
b
a |
l0(x) dx = | ó
õ |
b
a |
(x-a)(x-c)
(a-b)(a-c) |
dx = h / 3 |
A1 = | ó
õ |
b
a |
l1(x) dx = | ó
õ |
b
a |
(x-b)(x-c)
(b-a)(b-c) |
dx = 4h / 3 |
A2 = | ó
õ |
b
a |
l2(x) dx = | ó
õ |
b
a |
(x-a)(x-b)
(c-a)(c-b) |
dx = h / 3 |
Obtemos, assim, a Regra de Simpson (simples):
S( f ) = ( f (a) + 4 f (c) + f (b) ) h / 3 |
portanto
ES(f ) = I(f ) - S(f ) = I(f) - I(p2) = | ó
õ |
b
a |
f[a, b, c, x] (x-a) (x-b) (x-c) dx |
Introduzindo um ponto auxiliar d pertencente ao intervalo [a,
b], podemos usar a definição de f [ a, b, c, d, x
] para obter
f [ a, b, c, x ] = f [ a, b, c, d ] + f [ a, b, c, d, x ] ( x - d )
Substituimos esta expressão no integral, e como
ó
õ |
b
a |
(x-a) (x-b) (x-c) dx = 0 |
f [a, b, c, c, x] = | lim
c'®c |
f [a, b, c, c', x] |
Portanto, se f pertence a C4[ a, b ], o Erro da
Regra de Simpson (simples) fica:
ES(f ) = - | h5
90 |
f (4)(x), onde xÎ[a,b] |
Observação:
Por construção, sabiamos que a Regra de Simpson era exacta
para polinómios do 2º grau, mas esta fórmula do erro
revela-nos que ela é exacta mesmo para polinómios do 3º
grau! Portanto, enquanto que a Regra dos Trapézios tem apenas grau
1, a Regra de Simpson tem grau 3.
Convém referir que, enquanto a Regra dos Trapézios composta corresponde a fazer a aproximação da função integranda através de um spline linear, no caso da Regra de Simpson composta, a aproximação feita não corresponde a um spline de grau 2, pois não exigimos regularidade da derivada nos nós. Essa regularidade não é necessária quando integramos. Aliás, geometricamente depreende-se que, exigir a regularidade da função aproximadora, nos nós, não traz aparentes vantagens para a aproximação da área delimitada pelo gráfico da função...
Para aplicar a regra de Simpson usando sub-intervalos, devemos considerar um número impar de nós N+1, de forma que ao dividirmos o intervalo [ a, b ] em N/2 sub-intervalos, obtemos os nós
Assim, podemos considerar três nós em cada sub-intervalo [ x2k-2, x2k ] :
Como
I(f ) = | ó
õ |
b
a |
f(x) dx = | N/2
S i =1 |
ó
õ |
x2i
x2i-2 |
f(x)dx, |
obtemos
SN(f ) = | h
3 |
N/2
S i =1 |
(f(x2i-2) + 4 f(x2i-1) + f(x2i)), |
e simplificando os termos repetidos, temos a Regra
de Simpson Composta:
EN(f ) = - | N/2
S i =1 |
h5
90 |
f (4)(xi) = - | h5 N/2
90 |
( | 2
N |
N/2
S i =1 |
f (4)(xi) ) |
EN(f ) = - | (b-a) h4
180 |
f (4)(x), onde xÎ[a,b] |
Até aqui vimos apenas as regras de Newton-Cotes, nas quais os nós de quadratura estão igualmente espaçados no intervalo de integração. Essa suposição condiciona o grau de quadratura da fórmula, já que sendo dados os nós z1, ... , zn na fórmula de quadratura
I( f ) = | ó
õ |
b
a |
f(x) dx = ½ (b-a) | ó
õ |
1
-1 |
f (a + ½(t+1)(b-a) ) dt |
Observação: Poderá então colocar-se a questão de preferir a regra do ponto médio à regra dos trapézios, já que ambas as regras são exactas para polinómios de grau 1, e tendo em conta que a regra do ponto médio simples utiliza apenas um ponto, enquanto que a regra dos trapézios utiliza 2. No entanto, reparamos que, aplicadas a N subintervalos, a regra composta do ponto médio exige o cálculo da função em N pontos enquanto que a regra dos trapézios composta exige o cálculo em N+1 pontos, ou seja apenas mais um!
ì
ï ï í ï ï î |
|
Observação: Tal como na comparação entre a regra do ponto médio e a regra dos trapézios concluímos que as regras compostas apenas diferiam no cálculo de um nó suplementar, para a regra dos trapézios composta, também se considerarmos uma regra composta baseada na fórmula de quadratura Q que acabamos de deduzir, verificamos que a regra de Simpson composta apenas exigiria o cálculo suplementar de um nó, e tem a vantagem de se considerar os nós igualmente espaçados.
Regras de Gauss-Legendre
Iremos agora verificar que é possível encontrar, de forma muito mais simples, os valores dos nós z1, ..., zn e dos pesos A1, ..., An que permitem obter uma fórmula de quadratura de grau 2n -1, aproveitando os 2n graus de liberdade existentes.
Teorema:
Seja Pn o polinómio de Legendre de grau n,
e z1, ..., zn as suas raízes.
A fórmula de quadratura Q(f) = A1 f(z1
)+ ... + An f(zn ), em que os pesos
são
Ak = | ó
õ |
1
-1 |
lk(x) dx = | ó
õ |
1
-1 |
n
P i=1, i ¹k |
x - zi
zk - zi |
dx |
Observação:
O mesmo tipo de raciocínio poderia ser facilmente aplicado a
outros polinómios ortogonais, com outros produtos internos.
Por exemplo, definindo
J( f ) = | ó
õ |
1
-1 |
w(x) f(x) dx |
Ak = | ó
õ |
1
-1 |
w(x) lk(x) dx = | ó
õ |
1
-1 |
Ö(1-x2) | n
P i=1, i ¹k |
x - zi
zk - zi |
dx |