Vamos agora abordar ligeiramente o problema da determinação de valores e vectores próprios de uma matriz, ou seja, estaremos interessados em encontrar os valores complexos l(valores próprios) para os quais existem v não nulos (vectores próprios) tais que
É bem conhecido que isto corresponde a encontrar as soluções da equação polinomial
Se se tratar de uma matriz NxN então p é um polinómio de grau N e há N raízes complexas, ou seja N valores próprios, que iremos designar l1, ..., lN. (alguns valores podem ser iguais, correspondendo a raízes múltiplas). A cada valor próprio estão associados vectores próprios que constituem um subespaço linear, designado subespaço próprio. Pode acontecer que o subespaço próprio associado a um certo valor próprio tenha dimensão superior a 1. A dimensão desse subespaço é designada multiplicidade geométrica do valor próprio, e pode ocorrer que essa multiplicidade seja menor que a multiplicidade algébrica (a multiplicidade da raiz) do valor próprio.
Iremos apenas considerar o caso mais favorável, em que as multiplicidades são iguais, e em que os vectores próprios constituem uma base do espaço. Ou seja, iremos apenas considerar o caso de matrizes diagonalizáveis, que admitem a factorização de Jordan,
Relembramos ainda que no caso em que as matrizes são simétricas
(hermitianas, em C), os seus valores próprios são
números reais.
Convém ainda relembrar que o determinante da matriz A
é igual ao produto dos seus valores próprios, o que reflecte
bem que a invertibilidade de uma matriz não ocorre se tiver um valor
próprio nulo. Outras propriedade importantes podem ser retiradas
imediatamente da definição, por exemplo, os valores próprios
de A-1 são os inversos de A, e os vectores
próprios são iguais, porque
Começamos por recordar que, como vimos que o raio espectral era
menor que qualquer norma induzida, esse resultado permite imediatamente
obter um majorante para o valor absoluto dos valores próprios. Mas
o teorema seguinte permite uma localização mais
eficaz, através de bolas no plano complexo.
Teorema (Gerschgorin):
(i) Os valores próprios
de uma matriz A estão na reunião das bolas fechadas
B(akk
, rk), com k=1,...,N, em que
rk = | N
S j = 1, j ¹ i |
| akj | |
Ou seja, associada a cada linha da matriz temos uma bola, o seu centro
é definido pelo elemento da diagonal, e o raio é a soma do
valor absoluto dos restantes elementos dessa linha.
(ii) Se m bolas definidas
em (i) formarem uma componente conexa, então existem m valores
próprios (contando com a multiplicidade) nessa componente.
Ou seja, se m bolas se intersectarem há m valores
próprios na sua reunião.
(iii) A análise feita em
(i) e (ii) para linhas pode ser efectuada para colunas.
demonstração:
Apenas iremos demonstrar (i). Consideremos A v = lv,
e assim
|l-aii| |vi| < | N
S j = 1,j ¹ i |
|aij| |vj| |
Podemos agora escolher i=k em que k é o índice
tal que |vk| = ||v||¥,
o significa que o primeiro termo será
| l - aii | |vi|
= | l - akk |
||v||¥
e como cada |vj| no somatório é majorado
por ||v||¥, podemos obter
imediatamente
|l-akk| ||v||¥ < | N
S j = 1, j ¹ k |
|akj| ||v||¥ = rk ||v||¥ |
e assim como v não é nulo, temos | l
- akk
|
< rk , ou seja l
está na bola
B(akk , rk).
Colocamos os pontos correspondentes aos valores próprios para evidenciar que com efeito há dois valores próprios em B(3,4) e que não estão na bola B(1,1).
Uma análise por colunas permite verificar imediatamente que -4
é um valor próprio. Com efeito, pela regra de Laplace,
o determinante det (A - l
I) será dado por (- 4 - l) det
[(-1,1-l), (4,3-l)],
o que implica que l = - 4 seja valor
próprio,
e que os restantes valores próprios sejam dados pela simples
análise da matriz constituída pelas linhas (1,-1) e (4,3).
Na segunda figura, a azul, colocamos as bolas que se obtêm pela análise por colunas.
Até aqui apenas vimos um critério simples para uma localização
pouco precisa dos valores próprios.
Iremos agora ver o método das potências que permite obter
de forma simples uma aproximação do valor próprio
dominante (ou seja, aquele que tem maior módulo), por um processo
iterativo, desde que seja real.
Convém referir que assumimos que a matriz A é
diagonalizável e que existe um único valor próprio
dominante. Iremos assim determinar uma aproximação do vector
próprio associado e a partir dessa aproximação do
vector próprio podemos calcular uma aproximação do
valor próprio.
O método consiste simplesmente em definir um vector inicial aleatório
u(0),
unitário numa norma ||.||.
Iremos considerar a norma do máximo.
A partir desse vector inicial definimos novos vectores unitários,
u(k+1) = sk | Au(k)
|| Au(k) || |
Teorema.
Sejam l1, ..., lN
os valores próprios de A ordenados da seguinte forma
Observação:
Existem outros métodos mais eficazes para a aproximação
de valores próprios, dos quais o mais utilizado é o denominado
método QR com deslocamento (shift), e que se baseia numa
decomposição de uma matriz na forma A = QR,
em que Q é uma matriz unitária e R uma matriz
triangular superior.