I. Primitivação e integral de Riemann. (11 aulas) (Referência [CF1])
 

1. Definição de primitiva.
2. Propriedades das primitivas.
3. Primitivação por partes e por substituição.
4. Determinação das primitivas de algumas funções elementares.
5. Definição de integral de Riemann.
6. Primeiras propriedades do integral.
   
7. Integrabilidade de funções contínuas e de funções monótonas.
8. Integrais indefinidos e o teorema da média.
9. O teorema fundamental do cálculo e a regra de Barrow.
10. Fórmula da mudança de variável (integração por substituição). Áreas de figuras planas.
11. Comprimento de curvas no plano e outras aplicações do cálculo integral.

II. Topologia e continuidade de funções em Rⁿ. (8 aulas) (Referência [CF2])
 

1. Estrutura algébrica de Rⁿ.
2. Estrutura métrica de Rⁿ; teorema de Bolzano-Weierstrass.
   
3. Estrutura topológica de Rⁿ; conjuntos abertos e conjuntos fechados.
4. Conjuntos compactos; teorema de Weierstrass.
5. Definição de limite de campos escalares.
   
6. Definição de continuidade de campos escalares.
7. Exemplos de funções descontínuas.
   
8. Teorema do valor intermédio.
   

III. Cálculo diferencial em Rⁿ. (9 aulas) (Referência [CF2])
 

1. Derivadas direccionais de campos escalares e vectoriais.
   
2. Derivadas parciais e derivada total.
3. Representação matricial das derivadas totais (a matriz jacobiana).
4. Propriedades das derivadas. 
5. O vector gradiente; interpretação geométrica.
6. Divergência, rotacional e laplaciano.
7. Derivada da função composta. Exemplos e aplicações.
8. Teorema da função inversa.
   
9. Derivadas de segunda ordem; lema de Schwarz.
   

IV. Fórmulas de Taylor e extremos. (10 aulas) (Referência [CF2])
 

1. Séries de potências
2. Funções analíticas.
   
3. A série geomtétrica.
   
4. Desenvolvimentos em série de algumas funções elementares.
5. Teorema de Taylor para funções de variável real.
6. Teorema de Taylor para funções de variável vectorial.
   
7. Fórmula de Taylor para funções de várias variáveis.
   
8. Definição de extremos locais e globais.
   
9. A matriz Hessiana.
10. Determinação de extremos locais.

 
 

[CF1] J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Gulbenkian, 1995.

[CF2] J. Campos Ferreira, Introdução à Análise em Rⁿ, AEIST, 1978.

Exercícios de Análise Matemática I e II, Departamento de Matemática,IST Press, 2003.

T. Apostol, Calculus, vols. I e II, John Wiley, 1976 e 1975.

A. Ferreira dos Santos, Análise Matemática I e II, Texto de Apoio, LTC Editora, 1994.