Superfícies de Riemann e Curvas Algébricas

(Área de Geometria, Mestrado em Matemática Aplicada)

2º Semestre 2007/08

Programa detalhado:


[1ª Parte] Definição, exemplos e classificação topológica:  
  1. Definição de superfície de Riemann e exemplos. [M, Ch.I]
  2. Definição de curva algébrica afim e projectiva. [M, Ch.I]
  3. Classificação topológica das superfícies compactas. [Ma]
  4. Funções meromorfas e aplicações holomorfas. [M, Ch.II]
  5. A fórmula de Riemann-Hurwitz. [M, Ch.II]
  6. Superfícies hiperelípticas. [M, Ch.III]
  7. Àlgebra exterior e formas diferenciais. [M, Ch.IV]
  8. Integração. [M, Ch.IV]

     
      [2ª Parte] Cohomologia de feixes:

  9. Breve introdução à topologia algébrica; homotopia. [GH]
  10. Homologia e cohomologia. [GH]
  11. Feixes e pré-feixes, sequências exactas. [M, Ch.IX]
  12. Cohomologia de Cech [M, Ch.IX]
  13. Os teoremas de de Rham e de Dolbeault. [M, Ch.IX]

     
      [3ª Parte] Superfícies de Riemann compactas:

     

  14. Divisores, grau, equivalência linear. [M, Ch.V]
  15. Funções e formas associdas a um divisor. [M, Ch.V]
  16. Morfismos para Pn. [M, Ch.V]
  17. Os teoremas de Finitude e a dualidade de Serre. [F, §13,14]
  18. O teorema de Riemann-Roch. [M, Ch.VI]
  19. Aplicações do teorema de Riemann-Roch. [M, Ch.VII]

     
      [4ª Parte] Espaços de moduli:

  20. A variedade Jacobiana. [M, Ch.VIII]
  21. Os teoremas de Abel e de Jacobi. [M, Ch.VIII]
  22. Divisores e fibrados linha, o grupo de Picard. [F, §29]
  23. O problema de Riemann-Schottky.
  24. O teorema da Uniformização.
  25. Espaços moduli de curvas e Espaço de Teichmüller.
  26. Superfícies de Riemann e teoria de cordas.
  27. Curvas elípticas e o último teorema de Fermat.

  Havendo tempo e interesse, poderão ser cobertos alguns tópicos mais avançados como Variedades Abelianas e Prym, e os seus moduli, o problema de Schottky, sistemas lienares e funções teta, fibrados vectoriais, sistemas integráveis, o problema de Riemann-Hilbert, curvas elípticas e relações com a aritmética, etc.

Bibliografia Essencial:
[M]  R. Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, American Math. Soc., 1994 

Bibliografia Adicional:
[F]  O. Forster, Lectures on Riemann surfaces, Springer Verlag, 1981
[FK]  H. Farkas & I. Kra, Riemann surfaces, Springer Verlag, 1980
[K]  F. Kirwan, Complex algebraic curves, LMSST 23, Cambridge U.P., 1992.
[GH]  Greenberg & Harper, Algebraic Topology: a first course, 1981.
[Ma]  J. Massey, Algebraic topology: an introduction, Springer Verlag, 1989.

Para mais informações contactar o prof. Carlos Florentino. Tel. 218417127, e-mail: cfloren@math.ist.utl.pt