Fundamentos de Topologia e Análise Real

1º Semestre 2009/2010

LMAC, MMA

Responsável: Frank-Olme Speck
Email: fspeck@math.ist.utl.pt
Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico, Universidade Técnica de Lisboa

Avisos

Neste espaço serão divulgadas informações relevantes para a disciplina.

• 4 de Fevereiro de 2009: Resultados do 2º exame
      Nº     Valores    Oral
  68749        10           -
  Revisão de prova 12.2.10 dàs 14h00 às 16h00
  

• 19 de Janeiro de 2009: Resultados do 1º exame
      Nº     Valores    Oral
  58419        16           -
  66780        19       12.2.10 às 10h00
  66872        20       12.2.10 às 10h30
  68749        12           -
  Revisão de prova 25.1.10 às 14h00 (neste dia não há aulas de dúvidas)

• 18 de Dezembro de 2009: As datas/horas de avaliação estão alteradas:
1ª época - Terça-feira, dia 19 de Janeiro de 2010, 9h00-12h00, sala V 1.27,
2ª época - Quinta-feira, dia 4 de Fevereiro de 2010, 9h00-12h00, sala V 1.12.

• 11 de Dezembro de 2009:
  Aulas previstas p/preparação dos exames
  16 de Dezembro: Apresentação e discussão de dois exames anteriores
  17 de Dezembro: Problemas da parte Topologia, ver Fichas 1-5.
  18 de Dezembro: Problemas da Medida e Integração, ver Fichas 8-12.
  4 de Janeiro de 2010: Continição das aulas de dúvidas.
  

• 11/18 de Novembro de 2009: Programa actual
  Por causa dos problemas sérios da maioria dos alunos na semana de testes (2-8 Nov) será alterado o programa das aulas teóricas desta disciplina consoante o seguinte plano de trabalho.
  11-18 de Novembro: Repetição e estudo próprio da matéria já apresentada, ver o livro de Lang, páginas 1-62 e 109-144. Cópias da segunda parte estão disponíveis no gabinete P 3.08. Todas as aulas teóricas transformam-se em aulas de dúvidas oferecidas no mesmo sítio.
  19 de Novembro: Aula teórica especial: Resumo e discussão da parte "Medida e Integração", repetição de todas as definições e resultados principais.
  20 de Novembro: Continuição das aulas teóricas.
  

• 1 de Outubro de 2009: As aulas da semana 3-9 de Outubro são substituidas por exercícios, ver os problemas das Fichas 1-3. As soluções serão discutidas numa aula da semana seguinte.
  

• 23 de Setembro de 2009: Existe novo horário de aulas de dúvidas.
  

• 16 de Setembro de 2009: Início das aulas, apresentação da cadeira.
  

Programa

Espaços topológicos: Propriedades elementares, bases, separabilidade, aplicações contínuas, abertas, homeomorfas, topologia produto, conjuntos conexos, conexão por arcos, espaços compactos, axiomas de separação, teorema de Tychonoff, espaços localmente compactos, lema de Urysohn, teorema de Tietze, teoremas de Ascoli e de Stone-Weierstrass.

Medida e Integração: Espaços e aplicações mensuráveis, medidas positivas, o integral geral, lema fundamental da integração, propriedades do integral, teorema da convergência monótona, lema de Fatou, teorema da convergência dominada, teorema de Hahn, medidas produto e integração no espaço produto, teorema de Fubini, introdução aos espaços L_p: desigualdades de Holder e Minkowski, convergência e completude, funcionais lineares contínuos.

Bibliografia

• S. Lang, Real and Functional Analysis, Springer-Verlag, 3^rd ed., 1993.
• J. R. Munkres, Topology, a first course, Prentice Hall, 2^nd ed., 2000.
• H. L. Royden, Real Analysis, Mac-Millan, 3^rd ed., 1988.
  

Docentes

Aulas teóricas

Horário de aulas de dúvidas

Avaliação por exame final escrito