Sólido limitado por planos

\[ \array{ y+z \lt 1, \text{ se } y \lt x \cr x+z \lt 1, \text{ se } y \gt x \cr x \gt 0 \;;\; y \gt 0 \;;\; z \gt 0 } \]


Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Sendo \(z \gt 0\), é claro que \( 0 \lt x \lt 1\) e \( 0 \lt y \lt 1\). Portanto, fixando \( 0 \lt x \lt 1\), obtém-se: \[ \array{ z \lt 1-y, \text{ se } y \lt x \cr z \lt 1-x,\text{ se } y \gt x,} \] tal como se mostra na figura seguinte:

corte x
Fig. 1 Corte perpendicular a \(Ox\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Da definição, é claro que \(0 \lt z \lt 1 \;;\;0 \lt x \lt 1 \;;\; 0 \lt y \lt 1\) e \[ \array{ x \lt 1-z, \text{ se } y \gt x \cr y \lt 1-z, \text{ se } y \lt x,} \] tal como se mostra na figura seguinte:

corte z
Fig. 2 Corte perpendicular a \(Oz\)

Cálculo do volume

Seja \(X\) o sólido e considerem-se os cortes \(C(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C(z)=\left\{(x,y): \, \cases{ x \lt 1-z, \text{ se } y \gt x \cr y \lt 1-z, \text{ se } y \lt x} \right\}, \quad 0 \lt z \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \begin{eqnarray*} \text{vol}_3(X)=\int_{0}^{1} \text{vol}_2(C(z))dz &=& \int_{0}^{1}\left(\int_0^{1-z}\left(\int_0^{1}dx\right)dy\right)dz+ \\ &+&\int_{0}^{1}\left(\int_{1-z}^{1}\left(\int_0^{1-z}dx\right)dy\right)dz. \end{eqnarray*} Dado que o corte \(C(z)\) é a união de dois rectângulos, tal como se mostra na Fig. 2, então \[\text{vol}_2(C(z))=(1-z)+z(1-z)=(1-z)(1+z)=1-z^2\] e, portanto, \[\text{vol}_3(X)=\int_{0}^{1}(1-z^2)dz=\frac 2 3.\]