Uma Esfera

\(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2 = 1\}\)

Sendo \(r=\sqrt{ x^2+y^2+z^2}\) a distância do ponto \((x,y,z)\) à origem, esta esfera é o conjunto dos pontos à distância \(1\) da origem de \(\mathbb{R}^3\).

Colecção ou "pilha" de circunferências de raio igual a \(\sqrt{1-z^2}\) e centro em \((0,0,z)\). De facto, fazendo \(z=z_0\), com \(-1 \leq z_0 \leq 1\), tem-se \(x^2+y^2=1-z_0^2\).

Fazendo \(\rho=\sqrt{x^2+y^2}\), que designa a distância do ponto de coordenadas \((x,y,z)\) ao eixo \(Oz\), a esfera pode ser vista como o resultado de fazer rodar, em torno do eixo \(Oz\), a semicircunferência definida pela equação, \(\rho^2+z^2=1\), e representada na figura seguinte:

esfera

Conjunto de nível zero da função \(F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\), definida por \(F(x,y,z)= x^2+y^2+z^2-1\).