Gráfico da função escalar \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), definida por, \(f(x,y)=-\frac{3y}{x^2+y^2+1}\).

Os pontos críticos são as soluções da equação \(\nabla f(x,y)=(0,0)\), ou seja, \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{6xy}{(x^2+y^2+1)^2}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{3(x^2+y^2+1)-6y^2}{(x^2+y^2+1)^2}=0. \end{cases}

Da primeira equação, conclui-se que \(x=0\) ou \(y=0\). Fazendo \(x=0\), da segunda equação, tem-se \(y^2=1\), ou seja, \(y=-1\) ou \(y=1\). Fazendo \(y=0\), da segunda equação obtém-se \(x^2+1=0\), e, portanto, os pontos críticos da função \(f\) são: \((0,-1)\) e \((0,1)\).

Fazendo \(p(x,y)=x^2+y^2+1\), a matriz hesseana é dada por \begin{bmatrix} \frac{6py-24x^2y}{p^3} & \frac{6px-24xy^2}{p^3} \\ \frac{6px-24xy^2}{p^3} & \frac{6py+4y(3p-6y^2)}{p^3} \end{bmatrix} e, portanto, no ponto crítico \((0,-1)\) é a matriz \begin{bmatrix} {\textstyle -\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & {\textstyle -\frac{3}{2}} \end{bmatrix} e no ponto crítico \((0,1)\) é a matriz \begin{bmatrix} {\textstyle \frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & {\textstyle \frac{3}{2}} \end{bmatrix}

Assim, a função \(f\) apresenta um mínimo (Vale) no ponto \((0,1)\) e um máximo (Monte) no ponto \((0,-1)\).