Análise Matemática I, 2005/2006 (1º semestre)
Eng. do Ambiente, Eng. Biológica

Avisos e novidades

• (10/2/2006) Está disponível a pauta final da disciplina incluindo os resultados da revisão de provas do 2º exame.
• (8/2/2006) Está disponível a pauta do 2º exame. Duas anomalias (afectando para melhor a classificação final de 6 alunos) na folha de cálculo usada para produzir a pauta foram corrigidas. A versão disponível está correcta a partir das 9h 45m do dia 9.
• (7/2/2006) O 2º exame realizou-se no dia 23/1/2006 às 13h. Os resultados deverão ser publicados no dia 8/2. A revisão de provas realiza-se no dia 10/2 às 15 horas na sala de dúvidas. As pautas deverão ser entregues na secretaria de graduação dia 10/2.
• (20/1/2006) Os resultados da revisão de provas do 2º teste e do 1º exame estão disponíveis.
• (17/1/2006) Estão disponíveis as classificações do 1º exame e do 2º teste. A revisão de provas realiza-se na 6ª feira, 20 de Janeiro, às 15 horas na sala de dúvidas.
• (13/1/2006) Está disponível o enunciado e resolução do 1º exame e 2º teste.
• (9/1/2006) O 1º exame e 2º teste realizaram-se no dia 9/1/2006 às 13h.
• (21/12/2005) O horário de dúvidas mudou.
• (5/12/2005) As classificações do 1º teste estão disponíveis e já incluem o resultado da revisão de provas realizada na 6ª feira dia 2 às 11 horas e na 2ª feira dia 5 às 10 horas.
• (29/11/2005) Os inquéritos pedagógicos estão disponíveis. Segundo o GEP:

  [...] em qualquer computador com acesso à Internet, os alunos deverão fazer o login disponível em http://fenix.ist.utl.pt/privado, e no Portal do Estudante, escolhendo Inquéritos, podem avaliar as disciplinas em que se encontram inscritos neste 1º semestre de 2005/2006. Para o login no sistema o aluno deve usar o seu user e password habituais de acesso ao sistema FENIX. Caso o aluno ainda não tenha a password de acesso pode solicitá-la na recepção do CIIST.

  Esta avaliação é semelhante à anteriormente realizada em papel e pretende avaliar:

  • o funcionamento das disciplinas;
  • o desempenho pedagógico dos docentes (distinguindo cada um dos tipos de aula leccionados);
  • os espaços e condições de trabalho disponíveis.

  Os alunos só podem avaliar disciplinas em que se encontrem inscritos, respectivos docentes e salas de aula.

  O sistema não guarda ligação do utilizador às respostas, assegurando a confidencialidade e unicidade das respostas. O anonimato do aluno é garantido.

  [...]
• (16/11/2005) O 1º teste (inclui resolução) realizou-se no dia 12 de Novembro às 11 horas.
• (6/11/2005) A 2ª edição dos Exercícios de Análise Matemática I/II editada pela IST Press já está disponível. A numeração dos exercícios é a mesma da 1ª edição.
• (14/10/2005) A turma 17102 tem aula prática extraordinária desdobrada (devido aos laboratórios) numa das seguintes ocasiões:
  • 21/10 das 10 às 12h na sala E5;
  • 25/10 das 10 às 12h na sala Va2.
• (7/10/2005) A sala de dúvidas passou a ser a 1.12 do piso 1 do edifício de Pós-Graduação.
• (1/10/2005) A turma prática de 6ª feira às 15h (Eng. do Ambiente) vai ser eliminada do horário. Este facto foi comunicado ao GOP em 6/10.
• (26/9/2005) O planeamento da avaliação de Análise Matemática I realizado em Junho de 2005 entre a Secção de Álgebra e Análise, o Conselho Pedagógico e os Professores responsáveis inclui as seguintes datas: 12 de Novembro (1º teste), 9 de Janeiro (2º teste, 1º exame) e 23 de Janeiro (2º exame). Aguarda-se confirmação, horário e salas por parte do GOP.
• (26/9/2005) Realiza-se a reunião de Coordenação da Licenciatura em Eng. do Ambiente no dia 26/9/2005 às 10h na sala 4.41 do Pavilhão de Eng. Civil.
• (20/9/2005) O funcionamento da turma prevista para as 15h de 6ª feira está condicionado a ter uma afluência razoável de alunos já que, devido a uma mudança de horário em Álgebra Linear, a turma não é compatível com alunos de Eng. do Ambiente que também estejam inscritos em Álgebra Linear. Sugere-se a alunos destes cursos com a disciplina em atraso que optem preferencialmente por esta turma. Se o número de alunos neste horário for pequeno mas excessivo nas duas turmas de 5ª feira às 16h admite-se a possibilidade de abrir uma terceira turma neste último período. A situação deverá estar esclarecida na segunda semana de aulas.
• (31/8/2005) O calendário escolar prevê o início das aulas para 26 de Setembro de 2005.
• (17/5/2005) O Prof. responsável não usa o sistema fénix excepto para indicar uma ligação para esta página...

Introdução

Um curso como este é destinado a guiar os alunos no seu processo de aprendizagem de uma introdução à Análise Matemática. Esta página não pretende ensinar Matemática mas tão somente disponibilizar informação de uma forma eficiente.

Não é missão dos docentes apresentar a matéria como algo completo e de apreensão automática no final das aulas mas sim acentuar o que é importante, suscitar questões e balizar o inevitável trabalho posterior que necessariamente deve ser realizado de uma forma regular.

O que é a Matemática?

A Matemática é a ciência dedutiva que evoluiu a partir de conceitos abstractos tão antigos como número ou recta e cujos métodos incluem a lógica e a abstracção. As teorias matemáticas da actualidade organizam-se partindo de conceitos primitivos e axiomas através de definições adicionais e resultados (teoremas, lemas, proposições) que são consequências lógicas da teoria previamente estabelecida. Todo este processo é dinâmico e encontra-se com diferentes graus de maturidade consoante o assunto e o seu desenvolvimento histórico. Explicar o que são teorias ou resultados interessantes é algo extremamente difícil sem o conhecimento prévio de uma certa área. Questões não resolvidas consideradas interessantes são muitas vezes descritas como problemas à cerca dos quais se fazem conjecturas e são objecto de tentativas de demonstração ou obtenção de contra-exemplos. Todas estas características abstractas coexistem com um importantíssimo historial de influências nos dois sentidos entre a Matemática e as suas aplicações.

O que é a Análise Matemática?

O que se designa hoje em dia por Análise Matemática nasce do desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal criado por Newton e Leibniz. Lida com problemas de "passagem ao limite" em vários contextos nomeadamente com os conceitos de derivada e integral.

Objectivos

O objectivo essencial desta disciplina do ponto de vista do Professor responsável é dar a oportunidade aos alunos de encararem os fundamentos do Cálculo Infinitesimal de um ponto de vista coerente e não como um amontoado de receitas. Pressupondo pré-requisitos de lógica e compreensão do método dedutivo da matemática, estes fundamentos incluem a axiomática dos reais, sucessões, séries, continuidade e limites e uma parte substancial do cálculo diferencial no quadro das funções reais de variável real.

[Outras instâncias da escola apresentam como objectivos desta disciplina algo que ao sabor da moda ou opiniões individuais poderá parecer distinto do parágrafo anterior. Caberá ao leitor decidir no final do curso qual a melhor descrição de objectivos.]

Textos

Será seguido como texto base do curso Introdução à Análise Matemática de Jaime Campos Ferreira, edição da Fundação Calouste Gulbenkian. Existem muitos outros textos sobre esta matéria a um nível acessível aos alunos do 1º ano mas com perspectivas e estilos distintos. A bibliografia do programa genérico oficial da disciplina indica alguns. Outros:

• Apostol, T. M., Mathematical Analysis, second edition.
• Apostol, T. M., Calculus, vol. I, second edition.
• Spivak, M., Calculus.

Consulte estes e outros títulos na Biblioteca do IST.

Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de compreensão da matéria leccionada nas aulas teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além disso a aprendizagem de Matemática passa pela resolução de exercícios não necessariamente triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de Exame está disponível com o título Exercícios de Análise Matemática I/II. Este texto juntamente com o texto base servirá como base para listas de problemas semanais.

A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático relativo a lógica e teoria dos conjuntos é um dos requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O texto Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos de Jaime Campos Ferreira é uma referência para este tópico (versão para consultar on-line, versão para imprimir). Outros textos de apoio alternativos disponibilizados electronicamente são Lógica Matemática e Conjuntos pelo Grupo de Matemática da UTL.

Planeamento e sumários

Sumários em 2005/2006

Linhas com a data indicada a amarelo correspondem a planeamento. Linhas com a data indicada a verde correspondem ao que efectivamente foi leccionado. Linhas com a data indicada a vermelho correspondem a aulas canceladas.

1. Apresentação. (26/9/2005).
2. Os números reais: axiomas de corpo. Algumas noções de lógica e teoria dos conjuntos. (28/9/2005).
3. Os números reais: algumas consequências dos axiomas de corpo e sua demonstração, os axiomas de ordem. (30/9/2005).
4. Majorantes, minorantes, máximo, mínimo, supremo, ínfimo. Axioma do supremo. (3/10/2005).
5. Os números naturais (N), inteiros (Z) e racionais (Q). Produto cartesiano e pares ordenados. Funções injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Cardinalidade: conjuntos finitos, infinitos. Não existe um racional cujo quadrado seja 2. Q tem a mesma cardinalidade de N. (7/10/2005).
6. Cardinalidade: conjuntos numeráveis e contáveis. [0,1] é não contável. Outra caracterização de supremo, propriedade arquimedeana, existência da raiz quadrada de 2. (10/10/2005).
7. Existência da raiz quadrada de 2 (cont.). Outras consequências do axioma do supremo. Densidade dos racionais e irracionais nos reais. Pontos de acumulação. O teorema de Bolzano-Weierstrass. (12/10/2005).
8. Sucessões. O conceito de limite. Exemplos. Convergência das sucessões monótonas limitadas. As sucessões convergentes são limitadas. (14/10/2005).
9. Relações de ordem e limites de sucessões. Limites e operações algébricas. (17/10/2005).
10. Exemplos de sucessões e de cálculo de limites. Limites infinitos. O limite de xⁿ. A sucessão da soma dos n primeiros termos duma progressão geométrica, sucessões definidas por recorrência, o limite da raíz índice p de uma sucessão convergente. (19/10/2005).
11. A demonstração do teorema de Bolzano-Weierstrass. As sucessões de termo geral (1+1/n)ⁿ e Σⁿ_k=0 1/k!. (21/10/2005).
12. As sucessões de termo geral (1+1/n)ⁿ e Σⁿ_k=0 1/k!. Sublimites. Limite máximo e limite mínimo. (24/10/2005).
13. Sublimites. Propriedades dos limites máximo e mínimo. Sucessões de Cauchy. Sucessões de Cauchy são limitadas. O corolário do teorema de Bolzano-Weierstrass para sucessões limitadas. (26/10/2005).
14. As sucessões de Cauchy são convergentes. O limite de c^1/n. A relação entre os limites de a_n^1/n e de a_n+1/a_n. (28/10/2005).
15. Séries. Convergência de uma série. Exemplos: a série geométrica, as séries de Mengoli. A condição necessária de convergência. Séries de termos não negativos e o critério de comparação. A convergência de Σ 1/n² e a divergência de Σ 1/n. (31/10/2005).
16. Séries: o critério geral de comparação e o seus corolários em particular os baseados em comparação com séries geométricas. (2/11/2005).
17. Séries: convergência absoluta, critério de Leibniz, a convergência de Σ 1/n^s em função de s. (4/11/2005).
18. Séries de potências, raio de convergência, exemplos. (7/11/2005).
19. Convergência absoluta e associatividade e comutatividade dos termos de uma série. Discussão informal do teorema de Riemann. Produto de séries e convergência absoluta. (9/11/2005).
20. Funções. Continuidade. A caracterização de Heine de continuidade. Continuidade e operações algébricas, continuidade e composição de funções. (11/11/2005).
21. O teorema do valor intermédio. (14/11/2005).
22. Limites. Aplicação do teorema do valor intermédio à determinação do contradomínio de funções contínuas. A função exponencial e as funções trigonométricas. Continuidade das funções definidas por séries de potências. O contradomínio da exponencial. (16/11/2005).
23. O teorema de Weierstrass, aplicações. (18/11/2005).
24. Limites de funções monótonas num intervalo. Continuidade da inversa de uma função monótona contínua. As funções log, arctg, arccos, arcsen. (21/11/2005).
25. Cálculo diferencial. A noção de derivada e de diferenciabilidade. Derivada da soma, do produto, do quociente e da composição de funções diferenciáveis. (23/11/2005).
26. Exemplos de funções diferenciáveis e não diferenciáveis. Os teoremas de Rolle e Lagrange. A relação entre o sinal da derivada e monotonia. (25/11/2005).
27. Derivada da função inversa. Derivadas do log, arctg, arcsen, arccos. As funções hiperbólicas e as suas inversas. Derivadas de argsh e argch. (28/11/2005).
28. O teorema de Cauchy. (30/11/2005).
29. Aula cancelada devido a visita de estudo de Eng. do Ambiente. (2/12/2005).
30. Aplicação do teorema de Lagrange para obtenção de estimativas de diferenças de valores de uma função entre dois pontos: a divergência da série Σ 1/(n log n). Primeira versão da regra de Cauchy, exemplos. (5/12/2005).
31. Regra de Cauchy, exemplos. Estudo de gráficos de funções: assímptotas. (7/12/2005).
32. Derivadas de ordem superior à primeira. Estudo de gráficos de funções: convexidade, exemplos. (9/12/2005).
33. Estudo de gráficos de funções: exemplos. Tópicos adicionais: derivação de funções definidas por séries de potências. (12/12/2005).

O programa mínimo oficial desta disciplina deverá encontrar-se aqui. Faz-se notar que este programa é mínimo.

Corpo docente

João Palhoto Matos

Responsável por Engenharia do Ambiente, Engenharia Biológica, turma teórica 15101+15102+17101, aula prática da turma 17102, 4ª feira às 15 h.

Fernando Machado

Aula prática das turmas 15101 e 17101, 5ª feira às 16h.

Horários de aulas e dúvidas

Haverá um horário de dúvidas de 3 horas semanais distribuído por 2 sessões. Se no final de 20 minutos não estiverem presentes alunos a sessão termina aí. A sala de dúvidas do Departamento de Matemática é a 1.12 do edifício de pós-graduação. Os alunos podem consultar sessões de dúvidas de AMI de outros cursos.

Versões dos horários no sistema fénix: Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente.

Os horários de aulas e dúvidas estão disponíveis.

Calendário Escolar

Seguiremos integralmente o calendário escolar aprovado para a escola. Em particular as aulas teóricas iniciam-se a 26 de Setembro de 2005 e as aulas práticas na mesma semana.

Avaliação de conhecimentos

A descrição das regras de avaliação de conhecimentos é feita num documento separado e é comum a outros cursos.

Arquivo de exames

O arquivo de exames contém enunciados de um exame modelo e exames de anos lectivos transactos do mesmo responsável. Para procurar arquivos similares de outros Professores use a seguinte ligação.

Lista de problemas

Para 2005/2006

[x] indica uma recomendação de leitura da resolução do exercício x no texto. x indica um desafio aos alunos mais motivados.

Tipicamente os exercícios indicados para uma semana serão objecto de estudo e resolução escrita nessa semana e discutidos na aula prática da semana seguinte. A duração da aula prática é insuficiente para resolver todos os exercícios.

Última actualização: 2006/02/10 às 17h 56m WET.