Sumários

20/9	Definição de caminho, linha e integral de linha. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha (revisão de diferenciabilidade e teorema da derivação da função composta). Campos gradientes são conservativos. Condição necessária para um campo vectorial ser gradiente (revisão do teorema de Schwarz). A condição necessária não é suficiente.
22/9	Campos conservativos (continuação). Determinação de potenciais. Exemplos. Caminhos rectificáveis. Cálculo do comprimento de caminhos C¹([a,b]).
24/9	Comprimentos de caminhos e linhas (continuação). Um exemplo de um caminho não rectificável em C¹(]a,b]) mas não C¹([a,b]). O caso particular do comprimento de gráficos de funções de R em R. Campos vectoriais conservativos e contínuos em abertos são gradientes. Revisão do conceito de conjunto conexo.
27/9	A fórmula de Taylor para funções demais de uma variável real. Demonstração e exemplos.
29/9	Extremos de funções reais de mais de uma variável real. Nomenclatura. Condição necessária para extremos locais em pontos interiores. Exemplos. Aplicação do teorema de Weierstrass e da condição necessária.
1/10	Aplicação da fórmula de Taylor à classificação de pontos de estacionaridade.
11/10	Exemplos de aplicação da fórmula de Taylor à classificação de pontos de estacionaridade.
13/10	Fórmula de Taylor e extremos em pontos interiores (conclusão). A definição de integral de Riemann.
15/10	Aplicação do teorema de Fubini ao cálculo de integrais múltiplos.
18/10	Medida nula. Exemplos. Condições suficientes para um subconjunto de Rⁿ ter medida nula. O teorema de Lebesgue de caracterização de funções integráveis à Riemann.
20/10	O teorema de Lebesgue de caracterização de funções integráveis à Riemann (conclusão). O teorema de Heine-Borel e a caracterização de limitados e fechados de Rⁿ via extracção de subcoberturas finitas.
22/10	O teorema de Heine-Borel (cont.) e aplicação à demonstração do teorema de Heine-Cantor. Extensão do conceito de integral a funções limite superior.
25/10	Funções integráveis à Lebesgue. O teorema da convergência monótona e suas aplicações.
27/10	O teorema da convergência dominada. Exemplos de aplicação.
29/10	Aplicações à integração de séries de funções e à continuidade de integrais paramétricos.
3/11	A regra de Leibniz para derivação de integrais paramétricos como aplicação do teorema da convergência dominada.
5/11	Regra de Leibniz e aplicações.
8/11	Funções e conjuntos mensuráveis. A demonstração do teorema da convergência dominada a partir do teorema da convergência monótona.
10/11	Conjuntos mensuráveis e medida de Lebesgue. O teorema de Fubini e o teorema de Tonelli. Convolução. Transformação de Fourier.
12/11	O teorema de mudança de variáveis na integração. Exemplos.
15/11	O teorema de mudança de variáveis na integração. Exemplos. Introdução ao teorema da função inversa.
17/11	A demonstração do teorema da função inversa via linearização e aproximações. O teorema do valor médio para funções vectoriais.
19/11	Teorema da função inversa (conclusão). O teorema da função implícita.
22/11	O teorema da função implícita (conclusão).
24/11	Variedades. Definição e exemplos.
26/11	Caracterizações equivalentes de variedade.
29/11	Espaço tangente e espaço normal num ponto de uma variedade. Aplicação ao método dos multiplicadores de Lagrange.
3/12	Exemplo de aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange. Integração em variedades: introdução, o caso particular de integração numa vizinhança de coordenadas.
6/12	Integração em vizinhançs de coordenadas (continuaço). Exemplos.
10/12	Integração em variedades. Exemplos.
13/12	O teorema da divergência: versão local.
15/12	O teorema da divergência: conclusão da demonstração da versão local, o lema de localização e o significado físico de divergência, dedução de leis de conservação em forma diferencial a partir dos seus análogos em forma integral.
17/12	Aplicações do teorema da divergência. Caminhos homtópicos. Condição suficiente para um campo fechado num simplesmente conexo ser conservativo.
3/1	Complementos sobre integração: sucessões de molificadores, regularização,..., como aplicação dos resultados estudados.
5/1	Concusão da aula anterior.