Cálculo Diferencial e Integral II

Introdução

Duvidando... O Processo de Bolonha tem componentes fundamentais. Uma é de chamar a atenção para a importância de reformar os cursos, de maneira a dar mais peso à actividade dos estudantes, o estudo pelos próprios estudantes e às suas maneiras de se organizar. Isto significa reduzir drasticamente as componentes mais passivas da aprendizagem, de aumentar as tutoriais, a actividade de projecto, de estudo orientado do estudante. José Mariano Gago Entrevista à revista Pontos nos ii Janeiro de 2006

Concluindo...

Concordando... ...o estafado «ensino centrado no aluno» que, para muitos, é visto apenas como uma vontade de educar o jovem tendo atenção às suas capacidades e gostos, ao invés de o obrigar a aprender as matérias sem consideração pelas suas necessidades futuras, pelo seu desenvolvimento, ou pelos seus gostos e características. Todas estas preocupações são louváveis, mas com a moderação de não as tornar centrais, ou seja, de não permitir que se esqueçam os objectivos e conteúdos curriculares, e tudo o que o jovem necessita para ser chamado a uma vida activa crítica e informada. Nuno Crato O Eduquês em Discurso Directo Gradiva, Lisboa Fevereiro de 2006

Cálculo Diferencial e Integral II é uma disciplina criada pela reestruturação dos cursos do Instituto Superior Técnico provocada pela adesão de Portugal ao processo de Bolonha. A fixação dos programas desta disciplina decorreu durante 2005/6. O corrente Professor responsável opôs-se na medida do possível a esse processo de reestruturação e continua a não acreditar nele. No entanto tentará cumprir escrupulosamente o que foi superiormente determinado embora duvidando da sensatez do programa, carga horária e filosofia subjacente.

O programa da disciplina divide-se essencialmente em 3 partes:

• Introdução à Análise ${\mathrm{ℝ}}^n$: estrutura vectorial e topológica de ${\mathrm{ℝ}}^n$, aplicações de ${\mathrm{ℝ}}^n$ em ${\mathrm{ℝ}}^m$, continuidade, limites, cálculo diferencial.
• Integrais múltiplos.
• Integração em linhas e superfícies.

Toda esta matéria é fundamental para se poder trabalhar em inúmeras áreas de Física e Engenharia de que se podem destacar a Mecânica e o Electromagnetismo.

Ao contrário do que acontecia com as disciplinas de Análise Matemática até 2005/6 e de acordo (creio!) com a filosofia de Bolonha não haverá qualquer distinção entre o programa leccionado a Matemática, Física e Engenharia Biomédica e os restantes cursos. Por razões similares também não haverá qualquer tolerância relativa a programas não cumpridos em Cálculo Diferencial e Integral I ou Álgebra Linear.

Esta página é uma tentativa para orientar os alunos no seu trabalho de resolução de problemas a partir de uma página em que a introdução de fórmulas seja fácil para o Professor para permitir dar indicações sobre problemas cuja menção nas aulas práticas é impossível dada a escassez das mesmas. Sistemas imaginados como livros de ponto (e.g., fénix) são inadequados para tal.

Avisos recentes

2007/07/17

As provas orais dos alunos com essa indicação na pauta decorrerão no dia 23 a partir das 15h. Os alunos devem-se dirigir ao gabinete da Prof. Luísa Ribeiro no 3º piso do edifício de Matemática.

2007/07/17

A pauta do 2º exame foi publicada. A revisão de provas decorrerá às 12h do dia 20/7/2007 na sala de dúvidas do DMIST (piso 1, Pav. de Matemática).

2007/07/13

O enunciado do 2º exame está disponível.

2007/07/04

O enunciado do 1º exame está disponível.

2007/07/02

O 2º exame decorrerá no dia 9/7/2007 às 9h. Consulte a distribuição dos alunos por salas.

2007/07/02

A pauta do 1º exame foi publicada. A revisão de provas decorrerá às 12h do dia 5/7/2007 na sala de dúvidas do DMIST (piso 1, Pav. de Matemática).

2007/06/14

A distribuição de alunos por salas para o exame de 25/6 está disponível.

2007/06/05

O horário de dúvidas da Prof.ª Luísa Ribeiro foi alterado. O horário de dúvidas do Prof. João Palhoto Matos já não é assegurado.

2007/05/18

Estão disponíveis as classificações da ficha 4.

2007/05/04

A solução de uma das variantes da 1ª ficha que tinha sido publicada estava errada (a soma de integrais iterados não correspondia à região esboçada) e foi corrigida hoje.

2007/04/29

Os enunciados de fichas disponíveis nesta página passam a ter exemplos de solução. Ver, por exemplo, as páginas 7 e 8 da ficha 1 ou as páginas 3 e 4 da ficha 2.

2007/04/26

A 3ª ficha realizou-se no dia 23 de Abril. A 4ª ficha realizar-se-á no dia 3 de Maio.

2007/04/15

Foram publicados os resultados da repetição da 1ª Ficha e da 2ª. A 3ª ficha realizar-se-á no dia 23 de Abril.

2007/03/25

A 2ª ficha realizar-se-á no dia 2/4 (notar a alteração!) sendo dado no mesmo dia a oportunidade, a título excepcional, de repetir a 1ª (contando a 2ª classificação para quem entregar).

2007/03/27

Não haverá aula teórica no dia 28/3 (turma de EQ/Q/EBiol/EMater).

2007/03/25

As classificações da 1ª ficha estão disponíveis.

2007/03/19

A partir do dia 20/3 a aula de dúvidas da Prof.ª Luísa Ribeiro 3ª feira passa a iniciar-se às 14h.

2007/03/15

As aulas de dúvidas têm o horário fixado. A aula de dúvidas de 3ª feira às 11h está cancelada.

2007/02/27

Uma turma de problemas inicialmente prevista para 6ª feira à tarde foi suprimida.

2007/02/20

Esta página está razoavelmente completa tendo em vista o início do 2º semestre a 26 de Fevereiro. As aulas de problemas só se iniciam a 5 de Março.

Aulas

Corpo docente

• João P. Matos
• Luísa Ribeiro

Calendário

A versão mais recente do calendário escolar para 2006/7 (sim, houve pelo menos 2 versões!) na sua página 48 (apropriadamente numerada 42) prevê aulas de 26 de Fevereiro a 4 de Abril e de 12 de Abril a 8 de Junho (feriados 25 de Abril, 1 de Maio, 7 de Junho). As aulas de problemas começam na segunda semana de aulas.

Horários

A carga horária da disciplina inclui 4 horas de aulas teóricas e 1,5 horas de aulas de problemas por semana. O planeamento das aulas de problemas corresponderá a admitir um número de sessões igual ao mínimo número de aulas que se obtém considerando cada um dos dias da semana e o calendário indicado acima.

Normalmente à matéria leccionada numa dada semana na aula teórica corresponderá a um conjunto de problemas objecto de trabalho por parte dos alunos nessa semana (com visitas recomendadas às sessões de dúvidas) e de observações necessariamente sintéticas na aula de problemas da semana seguinte. É por esta razão que as aulas de problemas começam na segunda semana de aulas.

Aulas teóricas

1. Eng. Biomédica, Eng. Física, Matemática — 2ª 12h Qa02.2, 3ª 12h Ga2, 5ª 8h Ga2 e 6ª 12h Ga2 (JPM).
2. Eng. Biológica, Eng. Materiais, Eng. Química, Química — 2ª 12h Qa, 4ª 13h Qa, 4ª 14h Qa e 6ª 14h Qa (JPM).

Aulas de problemas

1. 07101+09101 2ª 13h30m V003 (LR)
2. 05101+2+3 3ª 15h30 C10 (LR)
3. 07102+17101 4ª 15h30m C01 (LR)
4. 21101 5ª 12h30m V123 (LR)

Horas/Dias	Segunda		Terça		Quarta		Quinta	Sexta
8:00-8:30							T GA2 A
8:30-9:00
9:00-9:30
9:30-10:00
10:00-10:30
10:30-11:00
11:00-11:30
11:30-12:00
12:00-12:30	T QA02.2 A		T GA2 A	Dúvidas LR		Dúvidas LR		T GA2 A
12:30-13:00							PB V123 d
13:00-13:30					T QA B
13:30-14:00	PB V003 a
14:00-14:30		T QA B					T QA B	T QA B
14:30-15:00
15:00-15:30							Dúvidas JPM	Dúvidas JPM
15:30-16:00			PB C10 b		PB C01 c
16:00-16:30
16:30-17:00
17:00-17:30
17:30-18:00
18:00-18:30
18:30-19:00

Sessões de esclarecimento de dúvidas

Durante o período de aulas: 3ª, 13h30m – 15h00m. (LR) 4ª, 13h30m – 15h00m. (LR) 5ª, 15h – 17h00m. (JPM) 6ª, 15h – 17h00m. (JPM)

Durante o período de exames: 3ª, 12h00m – 13h30m. (LR) 4ª, 12h00m – 13h30m. (LR)

Material para estudo

Textos

Os textos base para este planeamento são capítulos relevantes das seguintes obras:

1. T. M. Apostol. Calculus, vol. II, 2^nd edition. John Wiley.
2. J. Campos Ferreira. Introdução à Análise em ℝⁿ, Departamento de Matemática, IST, 2003.
3. J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian.
4. L. T. Magalhães. Integrais Múltiplos, 3ª edição. Texto Editora, 1994.
5. L. T. Magalhães. Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Editora, 1993.

Outros textos referidos ocasionalmente (porque têm um nível mais avançado, não estão em forma final,..., ou outra razão que os torna menos recomendáveis) incluem:

6. T. M. Apostol. Mathematical Analysis, 2^nd edition. Addison Wesley.
7. D. Gomes, J. Matos e J. Santos. Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Funções definidas em ℝⁿ.

As listas de exercícios também incluem exercícios de:

1. Exercícios de Análise Matemática I/II, 2ª edição. Departamento de Matemática, IST.

Aconselha-se os alunos a não usar a versão portuguesa de [1] mas sim a versão original inglesa devido aos embaraçosos e numerosos erros de tradução.

Detalhes sobre textos recomendados para cada tópico aparecerão nos sumários. O Professor responsável não segue nenhum texto em particular e tais indicações são apenas uma aproximação.

Programa

Um programa oficial da disciplina pode ser consultado no sistema fénix. Uma versão oficiosa que por vezes corrige algumas gralhas está disponível em servidores do Departamento de Matemática.

Enunciados de exame

É a primeira vez que esta disciplina funciona de maneira que não há enunciados de exames de épocas passadas disponíveis. Pode procurar enunciados de exame de Análise Matemática II e Análise Matemática III.

O enunciado do 1º exame está no arquivo de exames.

Enunciados de fichas

Aqui serão desponibilizados os enunciados das fichas já realizadas: 1, 1a, 2, 3, 4, 5, 6. Normalmente cada documento contém também uma solução de uma das variantes do enunciado.

Planeamento e Sumários

Sumários das aulas teóricas

1ª aula (A – 2007/02/26)

Breve apresentação.
${ℝ}^n$: estrutura vectorial, subespaços, norma e distância, produto interno, desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Aplicações de ${ℝ}^n$ em ${ℝ}^m$. Gráficos e conjuntos de nível. Exemplos incluindo aplicações lineares, projecções, simetria.
Ver por exemplo [2] páginas 8 a 15.

2ª aula (A – 2007/02/27)

A construção de Riemann de integrais de funções limitadas em intervalos limitados de ${ℝ}^n$: intervalos, partições, somas superiores e inferiores, integral superior e integral inferior, critério de integrabilidade de Riemann. Exemplos de funções integráveis e de funções não integráveis.
Ver por exemplo [1] páginas 353 a 373.

3ª aula (A – 2007/03/01)

O teorema de Fubini e redução ao cálculo de integrais de funções reais de variável real. Integrais (de Riemann) de funções limitadas em conjuntos limitados e exemplo de cálculo no caso de um subconjunto de ${ℝ}^2$.
Ver por exemplo [1] páginas 358 a 373 e 405 a 407.

4ª aula (A – 2007/03/02)

Exemplos de cálculo (admitindo a integrabilidade) em coordenadas cartesianas de integrais de funções limitadas em conjuntos limitados.
Ver por exemplo [1] páginas 358 a 373 e 405 a 407.

5ª aula (A – 2007/03/05)

Sucessões em ${ℝ}^n$: convergência, caracterização da convergência em termos de sucessões coordenadas, subsucessões, o teorema de Bolzano-Weierstrass. Noções topológicas em ${ℝ}^n$: bolas abertas, abertos, uma bola aberta é um aberto, fechados.
Ver por exemplo [2] páginas 26 a 42.

6ª aula (A – 2007/03/06)

Noções topológicas em ${ℝ}^n$: ponto interior, ponto fronteiro, ponto aderente, ponto de acumulação. Exemplos. Caracterização dos fechados via sucessões.
Ver por exemplo [2] páginas 32 a 42.

7ª aula (A – 2007/03/08)

Caracterização equivalentes de ponto aderente e fechado em termos de sucessões. Caracterização dos limitados e fechados (compactos) em termos de sucessões.
Ver por exemplo [2] páginas 32 a 42.
Funções contínuas. Continuidade das aplicações lineares.
Ver por exemplo [2] páginas 43 a 53.

8ª aula (A – 2007/03/09)

Caracterização das funções contínuas usando sucessões (continuidade à Heine). Continuidade da composta, da soma, da diferença, das funções coordenadas, do produto, polinómios, funções racionais, etc.
Ver por exemplo [2] páginas 43 a 53.

9ª aula (A – 2007/03/12)

Teorema de Weierstrass. Aplicações à garantia de existência de pontos de extremo. Imagens inversas, abertos, fechados e funções contínuas.
Ver por exemplo [2] páginas 54 a 56.

10ª aula (A – 2007/03/13)

Imagens inversas, abertos, fechados e funções contínuas. Conjuntos conexos. Identificação dos conexos de $ℝ$ com os intervalos. Condições suficientes para um conjunto ser conexo: conectividade por arcos, convexidade.
Ver por exemplo [2] páginas 40 a 42 e 58 a 60.

11ª aula (A – 2007/03/15)

Teorema do valor intermédio. Exemplos de aplicação à determinação do contradomínio de funções reais contínuas.
Ver por exemplo [2] páginas 58 a 60.
Limites finitos em pontos aderentes ao domínio, prolongamento por continuidade, limites e restrição de funções.
Ver por exemplo [2] páginas 61 a 82.

12ª aula (A – 2007/03/16)

Ficha de avaliação
Limites (exemplos). Limites infinitos e no infinito.
Ver por exemplo [2] páginas 61 a 82.

13ª aula (A – 2007/03/19)

Conexos por arcos são conexos. Um conexo que não é conexo por arcos. Os únicos subconjuntos de ${ℝ}^n$ simultaneamente abertos e fechados são ${ℝ}^n$ e $\varnothing$.
Ver por exemplo [2] páginas 58 a 60.
Continuidade uniforme e o teorema de Heine-Cantor. Integrabilidade de funções contínuas definidas em intervalos limitados e fechados.
Ver por exemplo [2] páginas 55 e 56.

14ª aula (A – 2007/03/20)

Estudo da integrabilidade de funções limitadas em conjuntos limitados (exemplo). Conteúdo nulo e uma condição suficiente de integrabilidade.
Breve introdução ao conceito de série motivada pela definição de medida nula: convergência de séries, a série geométrica.
Ver por exemplo [3] páginas 162 a 174.

15ª aula (A – 2007/03/22)

$\mathbb{Q}$ tem medida nula e uma função limitada contínua nos racionais e descontínua nos racionais e a sua integrabilidade. Séries: geométricas, de Mengoli, de termos não negativos e o respectivo critério de comparação, $\sum \frac{1}{n^2}$, $\sum \frac{1}{n}$, a ideia do critério do integral.
Ver por exemplo [3] páginas 174 a 195.

16ª aula (A – 2007/03/23)

Exemplos de corolários do critério de comparação. Critério do integral. Condição necessária de convergência.
Ver por exemplo [3] páginas 174 a 195.

17ª aula (A – 2007/03/26)

Não houve aula

18ª aula (A – 2007/03/27)

Conclusão da introdução às séries: convergência absoluta, séries simplesmente convergentes, critério de Leibniz.
Ver por exemplo [3] páginas 195 a 201.
Condições suficientes para um conjunto ter medida nula: união contável de conjuntos com medida nula, gráficos de funções contínuas.

19ª aula (A – 2007/03/29)

Cálculo diferencial para aplicações de ${ℝ}^n$ em ${ℝ}^m$: derivadas parciais, derivadas dirigidas, a noção de diferenciabilidade em pontos interiores ao domínio. Diferenciabilidade implica continuidade.
Ver por exemplo [3] páginas 83 a 104 ou [1] secções 8.6, 8.7, 8.10, 8.11, 8.12.

20ª aula (A – 2007/03/30)

A matriz jacobiana e a sua relação com a derivada, derivadas dirigidas de funções diferenciáveis. Diferenciabilidade das aplicações lineares, diferenciabilidade e operações algébricas. Exemplos.
Ver por exemplo [3] páginas 83 a 104 ou [1] secções 8.6, 8.7, 8.10, 8.11, 8.12.

21ª aula (A – 2007/04/02)

Fichas de problemas.

22ª aula (A – 2007/04/03)

O significado geométrico do gradiente de um campo escalar.
Ver por exemplo [1] páginas 260 e 261, secção 8.16.
Teorema de derivação da função composta. Exemplos.
Ver por exemplo [1] secções 8.20, 8.21, 8.22.

23ª aula (A – 2007/04/12)

$C^1$ num aberto implica diferenciabilidade. Teorema do valor médio para funções escalares. A não existência de um resultado análogo para funções vectoriais. Teorema do valor médio para funções vectoriais.
Ver por exemplo [2] páginas 112 a 116 ou [6] secções 12.11 e 12.12.

24ª aula (A – 2007/04/13)

A existência de funções $C^1$ de ${ℝ}^2$ em ${ℝ}^2$ com determinante da matriz jacobiana não nulo e não invertíveis. Introdução ao teorema da função inversa e relação com o método de Newton.
Para uma versão completa da demonstração do teorema da função inversa no espírito do que foi leccionado ver [7] página 53 e seguintes. Para outros pontos de vista ver [2] ou [6].

25ª aula (A – 2007/04/16)

Teorema da função inversa: esboço de demonstração baseada num argumento de ponto fixo. Exemplos.
Para uma versão completa da demonstração do teorema da função inversa no espírito do que foi leccionado ver [7] página 53 e seguintes. Para outros pontos de vista ver [2] ou [6].

26ª aula (A – 2007/04/17)

Teorema da função implícita. Exemplos.
Ver por exemplo [6] secção 13.4.

27ª aula (A – 2007/04/19)

O teorema de mudança de varáveis na integração. O significado do módulo do determinante da matriz jacobiana como um factor de escala de volumes. Exemplos incluindo coordenadas polares.
Ver a parte final do capítulo 11 de [1].

28ª aula (A – 2007/04/20)

Mudanças de coordenadas e integração. Exemplos de aplicação: coordenadas polares e esféricas. Exemplo de aplicação das coordenadas polares ao cálculo de um integral impróprio.

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{dx}=\sqrt{{\int }_{{ℝ}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{dx}\mathrm{dy}}=\sqrt{{\int }_0^{2\pi }({\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\rho e^{-{\rho }^2}d\rho )d\theta }=\sqrt{\pi }.{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{dx}=?$

Ver a parte final do capítulo 11 de [1].

29ª aula (A – 2007/04/23)

Integrais impróprios em $ℝ$.
Ver por exemplo [3], V.3.
Ficha de problemas

30ª aula (A – 2007/04/24)

Integrais impróprios absolutamente convergentes em ${ℝ}^n$. Integrais impróprios absolutamente convergentes para funções com uma singularidade num ponto.
Derivadas parciais de ordem superior à primeira. O teorema de Schwarz.
Ver [2], páginas 117 a 121.

31ª aula (A – 2007/04/26)

Derivadas dirigidas de ordem superior à primeira. Teorema de Taylor para funções escalares definidas em abertos de ${ℝ}^n$.
Ver [2], páginas 121 a 129.

32ª aula (A – 2007/04/27)

Sucessões de funções. Convergência pontual e convergência uniforme. A não preservação da continuidade e a não comutatividade de integrais com limites pontuais.
Ver por exemplo [3], V.2.2.

33ª aula (A – 2007/04/30)

Continuidade e convergência uniforme. Integração e derivação termo a termo usando critérios baseados em convergência uniforme.
Ver, embora com uma perspectiva diferente devida à diferente ordem de introdução de conceitos, [3], III.4, IV.2.1, V.2.2.

34ª aula (A – 2007/05/03)

Séries de potências: raio de convergência, continuidade, derivação e integração termo a termo.
Ver por exemplo [3], II.4, III.4, IV.2.1, V.2.2.

35ª aula (A – 2007/05/04)

Exemplos de obtenção de polinómios de Taylor de funções de várias variáveis reais à custa de desenvolvimentos em série de potências já conhecidos. A série de Taylor para funções reais de variável real: a fórmula de Taylor com resto de Lagrange, critério de convergência da série para a função.
Ver por exemplo [3], IV.2.1.

36ª aula (A – 2007/05/07)

A série de Taylor para funções reais de variável real: a fórmula de Taylor com resto de Lagrange, critério de convergência da série para a função (continuação). A série binomial.
Ver por exemplo [3], IV.2.1.

37ª aula (A – 2007/05/08)

Aplicação da fórmula de Taylor à classificação como pontos de extremo ou pontos de sela de pontos de estacionaridade. Os casos particulares de 2ª ordem e duas variáveis. Exemplos.
Ver [2] secção 4.5, [1] secções 9.9 a 9.13.

38ª aula (A – 2007/05/10)

Exemplos adicionais de problemas de extremos envolvendo:

• fórmula de Taylor;
• redução do número de variáveis por simetria;
• teorema de Weierstrass;

Ver [7] capítulo 3.

39ª aula (A – 2007/05/11)

Caminhos em ${ℝ}^n$. Linhas. Comprimento de arco e caminhos rectificáveis. Caminhos $C^1([a,b])$ são rectificáveis. Exemplo de caminho $C^1(]a,b])\cap C^0([a,b])$ não rectificável. Integral em ordem ao comprimento de arco. Integrais de linha. Exemplos.
Ver 10.1 a 10.9 de [1].

40ª aula (A – 2007/05/14)

Integrais de linha para gradientes de potenciais escalares, independência do caminho implica a existência de um potencial, campo fechado como condição necessária para um campo ser gradiente. Exemplos.
Ver 10.10 a 10.18 de [1].

41ª aula (A – 2007/05/15)

Abertos simplesmente conexos em ${ℝ}^2$. Teorema de Green. Exemplos. Campos fechados em abertos simplesmente conexos de ${ℝ}^2$ são gradientes. Exemplos.
Ver 10.10 a 10.18 e 11.19 a 11.22 de [1].

42ª aula (A – 2007/05/17)

Introdução a superfícies representadas localmente através de equações paramétricas, como gráficos de funções, ou como conjuntos de nível.
Ver 12.1 a 12.10 de [1].
Ficha de problemas

43ª aula (A – 2007/05/18)

Introdução ao conceito de área de uma superfície. Exemplos de cálculo.
Ver 12.1 a 12.10 de [1].

44ª aula (A – 2007/05/21)

Não houve aula.

45ª aula (A – 2007/05/22)

O conceito de variedade diferenciável em ${ℝ}^n$.

46ª aula (A – 2007/05/24)

Equivalência entre as caracterizações via representações locais paramétricas, como gráfico e por representação implícita. Exemplos. Exemplos de variedades. Os problemas de extremos condicionados. Aplicação da caracterização do espaço tangente a uma variedade à dedução do método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.

47ª aula (A – 2007/05/25)

Fluxo de um campo através de uma hipersuperfície. Exemplos.

48ª aula (A – 2007/05/28)

O elemento de volume $k$-dimensional. O integral de um campo escalar sobre uma variedade $k$-dimensional em ${ℝ}^n$. Os casos particulares de comprimento de arco, integral em ordem ao comprimento de arco, áreas de superfície e integral de superfície. Exemplos. O teorema fundamental do cálculo (teorema da divergência).

49ª aula (A – 2007/05/29)

Teorema da divergência. Exemplos.

50ª aula (A – 2007/05/31)

Aplicações do teorema da divergência. O significado físico da divergência, argumentos de localização, dedução de equações diferenciais parciais a partir de leis de conservação.

51ª aula (A – 2007/06/01)

O teorema de Stokes. Exemplos.

52ª aula (A – 2007/06/04)

Aplicações do teorema da divergência. Caminhos homotópicos. Abertos simplesmente conexos em ${ℝ}^n$. Condição suficiente para um campo fechado ser gradiente.

53ª aula (A – 2007/06/05)

Revisões

54ª aula (A – 2007/06/08)

Não há aula.

1ª aula (B – 2007/02/26)

Breve apresentação.
${ℝ}^n$: estrutura vectorial, subespaços, norma e distância, produto interno, desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Aplicações de ${ℝ}^n$ em ${ℝ}^m$. Gráficos e conjuntos de nível. Exemplos incluindo aplicações lineares, projecções, simetria.
Ver por exemplo [2] páginas 8 a 15.

2ª aula (B – 2007/02/28)

A construção de Riemann de integrais de funções limitadas em intervalos limitados de ${ℝ}^n$: intervalos, partições, somas superiores e inferiores, integral superior e integral inferior, critério de integrabilidade de Riemann. Exemplos de funções integráveis e de funções não integráveis.
Ver por exemplo [1] páginas 353 a 373.

Aulas de problemas

Avaliação de conhecimentos

Regras

1. A classificação na disciplina (NF) é a classificação das provas escritas (NPE) se 10 ≤ NPE ≤ 17, ou a classificação da prova oral (PO) se NPE > 17 e o aluno optar por realizar a prova oral, ou a classificação 17 se NPE > 17 e o aluno optar por não realizar a prova oral, ou reprovado (REP) nos restantes casos.
2. A NPE é função da nota de exame escrito (NE) e da nota da avaliação contínua (NC) de acordo com a seguinte tabela:
   
   

   	NC
   NE	1	2	3
   < 9	REP	REP	REP
   9	REP	REP	10
   10	REP	10	11
   11	10	11	12
   12	11	12	13
   13	12	13	14
   14	13	14	15
   15	15	15	16
   16	16	16	16
   17	17	17	17
   18	Oral?	Oral?	Oral?
   19	Oral?	Oral?	Oral?
   20	Oral?	Oral?	Oral?

   
   
3. NE é a melhor classificação (um inteiro entre 0 e 20) das duas oportunidades de realização de exame escrito com duração de 3 horas a realizar em datas a marcar pelo GOP.
4. NC é uma classificação de 1 (insuficiente), 2 (suficiente) ou 3 (bom) a atribuir em função dos resultados dos 5 mini-testes a realizar a partir da 3ª semana de aulas em semanas alternadas.
5. A realização de melhoria de nota inter-semestral obedece às regras de inscrição do IST (consulte a Secretaria de Graduação). Nesse caso não se considera NC no cálculo de NPE ou, o que é equivalente, considera-se NC = 2.
6. Não é necessária qualquer pré-inscrição para realização dos exames escritos.

Datas de exame

Época	Data	Hora
1ª	25/06/2007	9h
2ª	09/07/2007	9h

Não é necessária qualquer pré-inscrição para realização dos exames escritos. A distribuição de alunos por salas será disponibilizada nesta página.

Salas para o exame do dia 9/7

Dois últimos dígitos do número de aluno	Sala
*0, 01, 11, 21, 31, 41, 51, 61	C12
71, 81, 91, *2, 03, 13, 23, 33	C22
43, 53, 63, 73, 83, 93, *4, 05, 15, 25, 35, 45, 55	C9
65, 75, 85, 95, *6, *7, *8, *9	C01

Pautas

Última actualização da pauta: Segunda, 23 de Julho de 2007, 16:57.