| Data |
Sumário |
|---|---|
| 2003/09/16 | Apresentação. Equações Diferenciais Parciais de primeira ordem: o caso quasilinear. |
| 2003/09/18 | A equação de Laplace: consequências do teorema da divergência para obtenção de representações integrais de soluções; fórmulas de Greene para o semi-plano e a bola. |
| 2003/09/23 | A equação de Laplace: a fórmula integral de Poisson, teorema da média, princípio de máximo. |
| 2003/09/25 | A equação de Laplace: outras consequências do teorema da média (teorema de Liouville, desigualdades de Harnack, convergência uniforme e convergência monótona de sucessões de funções harmónicas). |
| 2003/09/30 | A equação de Laplace: o método de Perron. |
| 2003/10/02 | A equação de Laplace: soluções clássicas do problema de Dirichlet num aberto limitado, o conceito de barreira, condições suficientes para existência de barreiras. |
| 2003/10/07 | A equação de Poisson. |
| 2003/10/09 | A equação de Laplace: as soluções fracas em L1loc são soluções clássicas, revisões sobre aplicações de sucessões de molificadores. Equações de Euler-Lagrange e problemas variacionais. |
| 2003/10/14 | O contra-exemplo de Lewy de um sistema linear C∞ sem soluções. |
| 2003/10/16 | O contra-exemplo de Lewy (conclusão). A equação das ondas: o problema de Cauchy em dimensão espacial 1. Métodos de energia e unicidade. O teorema de Liouville (derivação de integrais dependentes de um parâmetro na região de integração). |
| 2003/10/23 | Métodos de energia na equação das ondas (conclusão). Método da média para solução do problema de Cauchy para a equação das ondas em dimensão espacial 3. |
| 2003/10/28 | Método da média para solução do problema de Cauchy para a equação das ondas em dimensão espacial 3. Método de descida para solução do problema de Cauchy para a equação das ondas em dimensão espacial 2. A equação não homogénea e o princípio de Duhamel. Introdução ao teorema de Cauchy-Kowalewska. |
| 2003/10/30 | O problema de Cauchy geral. O teorema de Cauchy-Kowalewska. |
| 2003/11/4 | O teorema de Holmgren (uma versão local). A equação do calor e o núcleo de Poisson. |
| 2003/11/11 | A equação do calor e o núcleo de Poisson. |
| 2003/11/13 | Equações lineares elípticas de 2ª ordem. O princípio de máximo e o lema do ponto fronteiro de Hopf. |
| 2003/11/18 | Definições e propriedades elementares de espaços de Sobolev |
| 2003/11/20 | Teorema de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg. |
| 2003/11/25 | Teorema de Morrey. |
| 2003/11/27 | Teorema de Rellich. Existência (via teorema de Lax-Milgram) e regularidade (via método do quociente de Nirenberg) de soluções fracas de uma equação diferencial parcial linear elíptica de 2ª ordem e coeficientes constantes. |
| 2003/12/2 | A continuidade e coercividade de operadores lineares elípticos de segunda ordem de coeficientes variáveis tendo em vista a aplicação do teorema de Lax-Milgram. Caracterização de W1,∞. |
| 2003/12/4 | Diferenciabilidade quase por toda a parte de funções em espaços de Sobolev. Teorema de Rademacher. |
| 2003/12/9 | O operador de traço em W1,p; traço 0 e W01,p. |
| 2003/12/11 | Formulação clássica da equação das superfícies mínimas: semicontinuidade inferior, equação de Euler-Lagrange,... |
| 2003/12/18 | Soluções clássicas da equação das superfícies mínimas: princípio de máximo, super e subsoluções, barreiras, existência de solução assumindo a existência de barreiras superior e inferior. |
| Data |
Lista de exercícios |
|---|---|
| 2003/09/25 | São particularmente recomendados: 2.1, 2.4, 2.6, 2.7, 2.9. Além disso como leitura suplementar: o exemplo sobre ondas de choque do mesmo capítulo e o caso não linear. |
| 2003/10/02 | 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10. Leituras suplementares: o exemplo de Hadamard. |
| 2003/10/09 | 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, 3.19. Leituras suplementares: o exemplo de Lebesgue de um ponto não regular. |
| 2003/10/16 | 3.20 além de todos os que estão em atraso. Leitura suplementar: o apêndice das notas sobre convolução e regularização. |
| 2003/10/30 | Exercícios sugeridos de Evans, Partial Differential Equations, Capítulo 2: 1, 3, 17, 18,... |
| 2003/11/10 | Exercícios sugeridos de Evans, Partial Differential Equations, Capítulo 6: 5, 6, 7,... |
| 2003/11/17 | Dúvidas... |
| 2003/11/24 | Tópico suplementar: compacidade forte em Lp (o teorema de Fréchet-Kolmogorov). |
| 2003/11/31 | Tópico suplementar: a demonstração do teorema de Stampacchia. |
Está disponível uma versão preliminar de notas relativas a este curso. Estas notas serão actualizadas durante o semestre. As últimas alterações dizem respeito à projecção sobre um convexo fechado num espaço de Hilbert, ao teorema de Stampacchia e caracterização de W1,∞.
O 1º exame decorreu em 16 de Janeiro de 2004 na sala V001 pelas 9 horas.
O 2º exame decorreu em 11 de Fevereiro de 2004 na sala P5 pelas 9 horas.
| Número | Classificação |
|---|---|
| 49556 | 19 |
| 49992 | 16 |
| 50004 | 13 |
| 50014 | 16 |
Para satisfazer a curiosidade dos alunos e dar ideia do que considero razoável eis dois enunciados de exame antigos: 1º e 2º exame de 1996/97. A maioria dos outros problemas de exame foram integrados nas folhas e infelizmente os ficheiros originais provavelmente perderam-se.