Responsável: José Natário
Gabinete: 4º Piso, Edifício de Pós-Graduação.
Telefone: 21841-7134
Email: jnatar@math.ist.utl.pt
Página da Cadeira na Web: http://www.math.ist.utl.pt/~jnatar/AMIII
Vitrina da Cadeira: É ao pé do Sr. Carvalhosa.
Todas as informações relevantes para o funcionamento da cadeira
estarão afixadas na vitrina e disponíveis no URL acima.
Programa:
Parte I. Variedades em Rn
Texto principal: capítulo 4 do livro por W. Fleming referido
abaixo
Semana 1. Derivação em Rn,
matriz jacobiana, regra da cadeia, derivadas parciais
Semana 2. Teoremas da função inversa e da função
implícita
Semana 3. Variedades, gráficos e conjuntos de nível,
extremos condicionados
Parte II Integração em Rn
Texto principal: capítulo 5 do livro por W. Fleming
Semana 4. Integral de Lebesgue, medida de Lebesgue, integrais
em Rn
Semana 5. Integrais sobre conjuntos limitados, integrais iterados,
teorema de Fubini
Semana 6. Mudança de variáveis, coordenadas polares,
cilíndricas e esféricas
Semana 7. Teoremas de convergência, regra de Leibniz
Parte III Formas Diferenciais
Texto principal: capítulo 7 do livro por W. Fleming
Semana 8. Covectores, álgebra multilinear, tensores alternantes,
álgebra exterior
Semana 9. Formas diferenciais, leis de transformação,
derivada exterior
Semana 10. Casos especiais de formas-1, formas-2 e dimensão
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Parte IV Integração em Variedades
Texto principal: capítulo 8 (e capítulo 6) do
livro por W. Fleming
Semana 11. Medida e integração de funções,
integral de linha de campos escalares
Semana 12. Orientação, integração
de formas, integral de linha, fluxo
Semana 13. Teoremas da divergência, de Green e de Stokes
Semana 14. Aplicações físicas, formas fechadas
e exactas, homotopia
Bibliografia:
Texto Principal:
W. Fleming, Functions of Several Variables, Springer-Verlag, 1977.
Outros Textos Relevantes:
T. Apostol, Calculus, volume II, John Wiley & Sons, Inc., 1969.
T. Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Co., 1974.
L. Magalhães, Complementos de Cálculo Diferencial, AEIST,
1984.
L. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações,
Texto Editora, 1993.
L. Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Editora, 1996.
M. Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, Inc., 1965.
Avaliação:
Testes e exames:
A nota dos testes ou exames é, consoante a opção
de cada aluno:
- ou a média das notas dos dois testes, com
cada teste a contribuir 50%, desde que a nota de cada teste não
seja inferior a 8,
- ou a nota do exame final.
Fichas e aulas práticas:
A nota prática é a soma das cinco melhores notas nas
fichas de exercícios. A nota com avaliação contínua
é a média da nota dos testes ou exames com peso 70%, e da
nota prática com peso 30%, desde que a nota dos testes ou exames
não seja inferior a 8.
Aprovação na cadeira:
A nota final é a maior de entre:
- a nota dos testes ou exames, e
- a nota com avaliação contínua.
A nota mínima de passagem é 10.
Orais:
Qualquer nota final superior a 17 tem que ser defendida numa prova
oral a combinar com a responsável pela cadeira no final do período
de exames; se não for defendida, uma tal nota passa a 17.
(As notas são números inteiros entre 0 e 20; quando arredondadas a partir de médias ou somas com algarismos decimais segue-se a regra habitual de tomar o inteiro mais próximo, sendo as cinco décimas arredondadas para um.)
Regras para as fichas de exercícios e aulas práticas:
Os alunos devem-se inscrever durante a primeira semana de aulas preenchendo
uma ficha e fornecendo uma fotografia (aceita-se também uma boa
fotocópia).
Há ao todo 6 fichas de exercícios distribuídas
e recolhidas quinzenalmente nas aulas teóricas das 6ª feiras.
As fichas nunca podem ser entregues em atraso!
A discussão dos exercícios entre grupos nas aulas práticas
e fora delas é encorajada. No entanto o trabalho entregue deve ser
individual e pode ser sujeito a discussão oral.
A resolução de cada ficha deve ser apresentada em folhas
agrafadas, todas bem identificadas e indicando no cabeçalho da primeira
folha o nº da ficha, o nº da turma, o nome do aluno e o nº
de aluno.
Cada ficha é composta por até 10 exercícios de
dificuldade não superior a problemas de exame ou teste. Apenas um
desses exercícios (não especificado previamente) é
corrigido e avaliado.
As fichas corrigidas são devolvidas nas aulas práticas
junto com uma breve solução. Ao receber cada ficha corrigida,
o aluno deve conferir logo a correcção; as notas de fichas
não podem ser revistas após a aula em que são devolvidas.
A nota de cada ficha é a nota da correcção rectificada
de acordo com o desempenho observado nas aulas práticas e com a
eventual discussão do trabalho entregue. A não comparência
a mais de metade das aulas práticas anula a avaliação
contínua.
As aulas práticas permitem: complementar a exposição
das aulas teóricas, trabalhar em grupo, discutir dúvidas,
orientar o desempenho na cadeira, adiantar a resolução das
fichas e demonstrar a evolução dos conhecimentos para avaliação.
Regras para os testes e exames:
Há duas datas de exame, um primeiro teste no sábado dia
10 de Novembro, e um segundo teste na data do primeiro exame. Os exames
têm a duração de 3 horas e os testes duram hora e meia.
Matéria para o primeiro teste: partes I-II do programa.
Matéria para o segundo teste: partes III-IV do programa.
Os alunos só podem apresentar-se a provas munidos de identificação
válida: cartão de aluno do IST ou bilhete de identidade.
Nos testes ou exames não é permitido utilizar máquinas
calculadoras nem quaisquer materiais de consulta.
Um aluno que tenha obtido aprovação com o primeiro exame
ou com os testes pode comparecer ao segundo exame para melhoria de nota.