Aula 1: Regras de funcionamento da cadeira. Descrição da matéria. Introdução ao conceito de integral. Primitivação.

Aula 2: Primitivação. Primitivação por substituição. Exemplos.

Aula 3: Continuação. Primitivação por partes. Exemplos. Exemplo de primitivação de função racional. Introdução ao integral de Riemann.

Aula 4: Partições finitas de um intervalo, somas de Darboux, integral inferior e integral superior de uma função limitada num intervalo limitado. Integral de Riemann. Exemplo de função não integrável à Riemann.

Aula 5: Integrabilidade das funções contínuas, das funções limitadas e descontínuas apenas num conjunto finito e das funções monótonas, em intervalos limitados e fechados. Propriedades do integral. O teorema da média.

Aula 6: Integrais indefinidos e propriedades. Teorema fundamental do cálculo. Primitivação de funções contínuas. Regra de Barrow. Exemplos.

Aula 7: Diferenciação de funções definidas por integrais. Exemplo. Fórmula de mudança de variável de integração. Exemplo. Integração por partes. Exemplo.

Aula 8: Exemplo de cálculo da área de uma região no plano. Comprimento do gráfico de uma função de variável real. Exemplos. Cálculo de volumes de regiões em R^3 com integrais simples. Exemplos.

Aula 9: Continuação da matéria anterior. Exemplos.

Aula 10: Revisão: a derivada e a melhor aproximação linear a uma função na vizinhança de um ponto. Polinómio de Taylor de ordem n de uma função diferenciável n vezes num ponto. Exemplos. O resto R_n(x). Fórmula integral para R_1(x).

Aula 11: Fórmula integral para R_n(x). Fórmula de Lagrange para o resto. Exemplos. R_n(x) = o(x-a)^n. Exemplos.

Aula 12: Revisão: propriedades fundamentais das séries de potências. Diferenciação e integração de séries de potências. Série de Taylor. Funções analíticas. Critérios de analiticidade. Exemplos.

Aula 13: Continuação. Classificação de pontos de estacionaridade. Exemplos.

Aula 14: Introdução à análise em R^n. Exemplos de campos escalares e vectoriais. Norma e distância. Bolas abertas em R^n.

Aula 15: Pontos interiores, exteriores e fronteiros a um sub-conjunto de R^n. Sub-conjuntos de R^n abertos e fechados. Exemplos. Sucessões em R^n. Convergência de Sucessões em R^n. Exemplos. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Exemplo.

Aula 16: Sucessões em conjuntos fechados. Conjuntos compactos. Sucessões em conjuntos compactos. Continuidade de funções definidas em domínios em R^n e com valores em R^m. Exemplos.

Aula 17: Limites dos valores de uma funçõao num ponto interior ou fronteiro ao seu domínio. Relação com a continuidade. Exemplos. Limites direccionais. Exemplos.

Aula 18: Continuação. Coordenadas polares em R^2 e aplicações ao cálculo de limites. Teorema de Weierstrass. Exemplos de introdução ao teorema do valor médio.

Aula 19: Conjuntos separados e conjuntos conexos. O teorema do valor intermédio. Exemplo. Exercícios de revisão.

Aula 20: Exercícios de revisão.

Aula 21: Exercícios de revisão.

Aula 22: Diferenciabilidade de funções definidas em subconjuntos de R^n. Exemplo. Derivadas direccionais. Exemplos. Derivadas parciais.

Aula 23: Exemplos. Derivadas direccionais de funções diferenciáveis. Exemplos. Matriz Jacobiana. Exemplos.

Aula 24: Derivadas direccionais de funções diferenciáveis. Exemplos. Condição suficiente de diferenciabilidade. Exemplos. Gradiente de um campo escalar e algumas propriedades. Exemplos.

Aula 25: Continuação. Regra de derivação da função composta. Exemplos.

Aula 26: Continuação e exemplos. Teorema de Lagrange para campos escalares em R^n.

Aula 27: Conjuntos de nível de campos escalares em R^n. Exemplos. Caminhos em R^n e vectores tangentes a caminhos. Exemplos. Relação de perpendicularidade entre o gradiente e os conjuntos de nível. Rectas normais e planos tangentes a superfícies de nível. Exemplos.

Aula 28: Continuação. O potencial gravítico de Newton. Derivadas parciais de ordem superior.

Aula 29: Teorema de Schwarz. Exemplos. Introdução à fórmula de Taylor para campos escalares em R^n.

Aula 30: Fórmula de Taylor para campos escalares em R^n. Exemplo. Campos escalares analíticos. Exemplo.

Aula 31: Extremos de campos escalares em R^n: condição necessária para um ponto ser extremo de um campo escalar diferenciável; pontos críticos; pontos em sela. Exemplos. Matriz Hessiana.

Aula 32: Condições necessárias e suficientes (de segunda ordem) para que um ponto crítico seja um máximo ou mínimo local ou um ponto em sela. Exemplos.

Aula 33: Teorema da função inversa.

Aula 34: Continuação. Exemplos. Introdução ao teorema da função implícita.

Aula 35: Teorema da função implícita.

Aula 36: Continuação. Exemplos.

Aula 37: Variedades diferenciais de dimensão m em R^n: descrição local através de sistemas de (n-m) equações em R^n. Espaço normal e espaço tangente. Exemplos.

Aula 38: Continuação. Descrição local de variedades através de gráficos. Exemplos. Extremos condicionados: introdução.

Aula 39: Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.

Aula 40: Continuação. Revisões.

Aula 41: Revisões.