Aula 1: (11/09/06) Descrição panorâmica da cadeira. Revisões de cálculo diferencial em R^n. Introdução ao estudo de extremos de um campo escalar em R^n.

Aula 2: (12/09/06) Critérios de segunda ordem para a classificação de extremos de um campo escalar em R^n. Exemplos. Introdução ao teorema da função inversa.

Aula 3: (15/09/06) Teorema da Função Inversa (demonstração da injectividade local). Exemplos.

Aula 4: (18/09/06) Continuação. Teorema da Função Implícita.

Aula 5: (19/09/06) Continuação e exemplos.

Aula 6: (22/09/06) Variedades diferenciais em R^n.

Aula 7: (25/09/06) Descrição local de variedades como conjuntos de nível e como gráficos. Espaço tangente e espaço normal. Exemplos.

Aula 8: (26/09/06) Continuação. Vizinhanças de coordenadas e parametrizações.

Aula 9: (29/06/06) Continuação e exemplos. Extremos condicionados.

Aula 10: (02/10/06) Multiplicadores de Lagrange. Exemplos.

Aula 11: (03/10/06) Teorema de Heine-Borel. Intervalos em R^n. Partições finitas. Funções em escada. Integral de uma função em escada num intervalo compacto em R^n.

Aula 12: (09/10/06) Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto de R^n. Teorema de Fubini. Exemplos.

Aula 13: (10/10/06) Continuação.

Aula 14: (13/10/06) Conjuntos de medida nula em R^n.

Aula 15: (16/10/06) Critério de Integrabilidade de Lebesgue. Conjuntos mensuráveis à Jordan. Volume, massa, centro de massa, centróide e momento de inércia relativamente a um eixo de um conjunto mensurável à Jordan em R^n.

Aula 16: (17/10/06) Transformações de coordenadas em R^n. Jacobiano. Teorema da mudança de variáveis de integração. Exemplos.

Aula 17: (20/10/06) Continuação.

Aula 18: (23/10/06) Volume-k de um paralelipípedo-k em R^n. Definição de integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n.

Aula 19: (24/10/06) Independência do integral de um campo escalar numa vizinhaça de coordenadas relativamente à parametrização. Exemplos.

Aula 20: (27/10/06) Espaço vectorial dual de um espaço vectorial de dimensão finita. Covectores. Base dual. Tensores covariantes de grau k. Exemplos.

Aula 21: (30/10/06) Produto tensorial. Base de T^k(V). Tensores alternantes. Exemplos.

Aula 22: (31/10/06) A aplicação Alt:T^k(V) --> /\^k(V). O produto exterior. Propriedades. Exemplos.

Aula 23: (03/11/06) Continuação. Tensores de grau n num espaço vectorial de dimensão n. O determinante. Propriedades de transformação sob mudança de base. Relevância para os integrais em variedades.

Aula 24: (06/11/06) Formas diferenciais de grau k em R^n. Propriedades e exemplos. Derivada exterior. Propriedades e exemplos.

Aula 25: (07/11/06) Pull-back de formas diferenciais. Propriedades. Pull-back comuta com a derivada exterior. Aplicações e exemplos.

Aula 26: (10/11/06) Formas diferenciais fechadas e exactas. Exemplo de forma fechada que não é exacta. Conjuntos em estrela. Lema de Poincaré. Exemplos de cálculo de potenciais.

Aula 27: (13/11/06) Integral de uma forma-k num aberto de R^k. Transformações de coordenadas que preservam e invertem a orientação. Integral de uma forma-k numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n, segundo uma parametrização. Variedades orientáveis. Interpretação geométrica da orientação.

Aula 28: (14/11/06) Continuação. Orientação de curvas e de variedades-(n-1) em R^n. Campos de normais unitárias. Exemplo de variedade não-orientável. Integral de forma-k numa (vizinhança de coordenadas de uma) variedade-k orientável. Exemplos.

Aula 29: (17/11/06) Continuação. Exemplos de variedades com bordo. Forma de orientação induzida no bordo. Significado geométrico para curvas e superfícies em R^3. Regra da mão direita.

Aula 30: (20/11/06) Continuação. Orientação induzida no bordo de um domínio regular em R^n. Teorema de Stokes generalizado em conjuntos elementares em R^n. Teorema de Stokes generalizado. Ideia da demonstração.

Aula 31: (21/11/06) Exemplos. Integral de forma exacta em variedade com bordo vazio é nulo. Integrais de linha. Integral de um campo vectorial ao longo de uma curva. Trabalho. Campos gradientes são conservativos.

Aula 32: (24/11/06) Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Condições necessárias e suficientes para um campo vectorial ser gradiente. Teorema de Green no plano. Integrais de linha de campos fechados e homotopia de caminhos.

Aula 33: (27/11/06) Conjuntos simplesmente conexos. Exemplos. Campos fechados em simplesmente conexos são gradientes. Exemplos. Forma-(n-1) associada a um campo vectorial em R^n. Preparação para o teorema da divergência em R^n.

Aula 34: (28/11/06) Fluxo de um campo vectorial através de uma variedade-(n-1) no sentido de uma normal. Divergência de um campo vectorial. Teorema da divergência em R^n. Significado físico da divergência. Rotacional de um campo vectorial em R^3. Teorema de Stokes clássico. Significado físico do rotacional.

Aula 35: (28/11/06 e 29/11/06) Exemplos de cálculo de fluxos, incluindo que um campo vectorial com divergência nula num conjunto em estrela em R^3 tem um potencial vector. Equações de Maxwell.

Aula 36: (04/12/06) Introdução ao integral de Lebesgue. Conjuntos mensuráveis à Lebesgue em R^n. Medida de Lebesgue.

Aula 37: (05/12/06) Propriedades da medida de Lebesgue. Funções simples e funções mensuráveis. Integral de Lebesgue. Propriedades do integral de Lebesgue.

Aula 38: (11/12/06) Teorema da convergência monótona de Levi. Teorema da convergência dominada de Lebesgue. Exemplos de aplicação.

Aula 39: (12/12/06) Regra de Leibniz. Exemplos de aplicação. Exemplo de conjunto não mensurável à Lebesgue.

Aula 40: (15/12/06) Revisões.