Aula 1: (15/09/08) Regras de funcionamento da cadeira. Introdução ao programa. Exemplos de campos escalares, vectoriais e de sua representação. Exemplo de caminho.

Aula 2: (16/09/08) Topologia em R^n através da definição de distância. Pontos interiores, exteriores e fronteiros a um subconjunto de R^n. Conjunto abertos e fechados. Exemplos. Sucessões em R^n. Exemplos. Definição de limite e de sucessão convergente em R^n. Exemplos.

Aula 3: (18/09/08) Teorema de Bolzano- Weierstrass. Caracterização de conjuntos fechados e compactos em termos de sucessões neles contidas. Continuidade num ponto de uma função de R^n->R^m. Exemplos.

Aula 4: (19/09/08) Limite dos valores de uma função num ponto fronteiro ao seu domínio. Exemplos. Limites direccionais. Exemplos.

Aula 5: (22/09/08) Continuação. Coordenadas polares em R^2. Exemplos. Teorema de Weierstrass. Introdução ao teorema do valor intermédio para campos escalares em R^n.

Aula 6: (23/09/08) Conjuntos separados e conjuntos conexos. Continuação. Exemplos. Teorema do valor intermédio para um campo escalar contínuo em R^n. Diferenciabilidade num ponto de uma função R^n->R^m.

Aula 7: (25/09/08) Uma função diferenciável em a é contínua em a. Derivadas segundo um vector. Exemplos. Derivadas parciais. Derivadas de uma função diferenciável segundo um vector. Matriz Jacobiana.

Aula 8: (26/09/08) Continuação. Exemplos. Exemplo de função não diferenciável na origem mas com derivadas parciais nesse ponto. Condições suficientes de diferenciabilidade: funções de classe C^1 são diferenciáveis. Continuação. Exemplos. Gradiente de um campo escalar e direcção de crescimento máximo. Exemplos.

Aula 9: (29/09/08) Regra de derivação da função composta e regra da cadeia. Exemplos.

Aula 10: (30/09/08) Teorema de Lagrange para campos escalares em R^n. Relação de perpendicularidade entre o campo vectorial gradiente e os conjuntos de nivel de um campo escalar. Exemplos.

Aula 11: (02/10/08) Continuação. Exemplos. Derivadas parciais de ordem superior à primeira.

Aula 12: (03/10/08) Teorema de Schwarz para campos escalares de classe C^2. Exemplos. Introdução à fórmula de Taylor para um campo escalar em R^n.

Aula 13: (06/10/08) Fórmula de Taylor para um campo escalar em R^n. Exemplo.

Aula 14: (07/10/08) Condição necessária para um campo escalar diferenciável ter um extremo local num ponto interior ao seu domínio. Pontos críticos. Pontos em sela. Exemplos.

Aula 15: (09/10/08) Matriz Hessiana de um campo escalar e forma quadrática associada. Critérios de 2ªordem, necessários e suficientes, para que um campo escalar tenha um extremo num dado ponto crítico. Exemplos. Relação com valores próprios da Hessiana.

Aula 16: (10/10/08) Continuação. Exemplos. Introdução ao teorema da função inversa.

Aula 17: (13/10/08)Teorema da função inversa. Exemplos.

Aula 18: (14/10/08) Continuação. Exemplos. Introdução ao teorema da função implícita.

Aula 19: (16/10/08) Teorema da função implícita.

Aula 20: (17/10/08) Continuação. Exemplos.

Aula 21: (20/10/08) Variedades diferenciais em R^n descritas localmente por sistemas de equações ou por gráficos. Espaço normal e espaço tangente. Exemplo.

Aula 22: (21/10/08) Exemplos.

Aula 23: (23/10/08) Não houve aula devido ao disparo do alarme na torre de Química.

Aula 24: (24/10/08) Extremos condicionados e método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.

Aula 25: (27/10/08) Continuação. Exemplos.

Aula 26: (28/10/08) Parametrizações. Exemplos.

Aula 27: (30/10/08) Continuação. Exemplos.

Aula 28: (31/10/08) Introdução ao cálculo integral em R^n. Intervalos em R^n. Partições finitas de intervalos. Funções em escada. Integrais de funções em escada. Revisão do integral de Riemann de uma função de uma variável.

Aula 29: (03/11/08) Integrabilidade à Riemann de uma função limitada num intervalo compacto de R^n. Teorema de Fubini.

Aula 30: (04/11/08) Exemplos.

Aula 31: (06/11/08) Continuação. Exemplos.

Aula 32: (07/11/08) Aula de revisões.

Aula 33: (10/11/08) Condição necessária e suficiente para integrabilidade de uma função limitada num intervalo compacto. Funções limitadas descontínuas apenas ao longo de gráficos são integráveis. Regiões x_j simples e regiões simples em R^n. Integrabilidade das funções contínuas e limitadas no interior de uma região simples.

Aula 34: (11/11/08) Aplicações: volume, massa ou carga, centro de massa, centróide, momento de inércia. Introdução à fórmula de mudança de variáveis de integração. Transformações de coordenadas em R^n. Jacobiano.

Aula 35: (13/11/08) Teorema de mudança de variáveis de integração. Exemplos. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.

Aula 36: (14/11/08) Exemplos. Introdução aos integrais de campos escalares em variedades-k em R^n.

Aula 37: (17/11/08) Integrais de campos escalares em vizinhanças parametrizadas de variedades-k em R^n. Independência da parametrização.

Aula 38: (18/11/08) Exemplos.

Aula 39: (20/11/08) Exemplos. Integral de linha de um campo vectorial. Trabalho. Dependência, a menos de sinal, na parametrização.

Aula 40: (21/11/08) Trabalho de uma força constante. Forças conservativas. Conservação da energia mecânica. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Potencial gravítico de Newton.

Aula 41: (24/11/08) Condições necessárias e suficientes para um campo vectorial ser conservativo. Campos fechados. Exemplo de campo fechado que não é conservativo.

Aula 42: (25/11/08) Exemplo de campo radial e de cálculo do potencial. Homotopia de caminhos fechados e exemplos. Conjuntos simplesmente conexos. Exemplos.

Aula 43: (27/11/08) Invariância por homotopia do integral de linha de um campo vectorial fechado ao longo de um caminho fechado. Num conjunto simplesmente conexo, um campo vectorial é conservativo sse é fechado. Exemplos.

Aula 44: (28/11/08) Teorema de Green no plano. Exemplos.

Aula 45: (02/12/08) Teorema da divergência. Relação com o teorema de Green para n=2. Exemplo.

Aula 46: (04/12/08) Continuação. Exemplos. Fluxos. Significado geométrico da divergência. Superfícies orientáveis em R^3.

Aula 47: (05/12/08) Orientação induzida no bordo de uma superficie. Rotacional de um campo vectorial em R^3. Teorema de Stokes. Significado geométrico do rotacional. Exemplos.

Aula 48: (09/12/08) Exemplos.

Aula 49: (11/12/08) Equações de Maxwell. Exercícios de revisão.

Aula 50: (12/12/08) Exercícios de revisão.

Aula 51: (15/12/08) Exercícios de revisão.

Aula 52: (16/12/08) Aula de dúvidas.

Aula 53: (18/12/08) Aula de dúvidas.

Aula 54: (19/12/08) Aula de dúvidas.