Cálculo Diferencial e Integral II 1ºSemestre 2012/13

Prof. João Pimentel Nunes

Sumários das aulas teóricas LEGM, MEC, MEFT

  • Aula 1: Apresentação e funcionamento da cadeira. Exemplos de campos escalares, campos vectorias e de caminhos em R^n e de suas representações gráficas.
  • Aula 2: Topologia em R^n. Bolas abertas em R^n. Pontos interiores, exteriores e fronteiros a um subconjunto de R^n. Conjuntos abertos e fechados. Exemplos. Sucessões em R^n. Exemplos. Limites de sucessões em R^n.
  • Aula 3: Continuação. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Caracterização de conjuntos fechados e de conjuntos compactos em termos de sucessões. Continuidade num ponto de uma função de R^n->R^m. Exemplos.
  • Aula 4: Limites dos valores de uma função num ponto fronteiro ao seu domínio. Exemplos. Limites direccionais. Exemplos.
  • Aula 5: Continuação. Exemplos. Coordenadas polares em R^2. Exemplos.
  • Aula 6: Teorema de Weierstrass. Conjuntos conexos. Exemplos. Teorema do valor intermédio para campos escalares contínuos em R^n.
  • Aula 7: Diferenciabilidade num ponto de uma função R^n->R^m. Exemplo. Uma função diferenciável em a é contínua em a. Derivada segundo um vector. Exemplos. Derivadas parciais. Exemplos.
  • Aula 8: Derivada segundo um vector de uma função diferenciável. Matriz Jacobiana. Exemplos. Exemplo de uma função não diferenciável na origem mas com derivadas parciais nesse ponto.
  • Aula 9: Condição suficiente de diferenciabilidade: funções de classe C^1 são diferenciáveis. Exemplos. Gradiente de um campo escalar e direcção de crescimento máximo. Exemplos. Regra de derivação da função composta.
  • Aula 10: Continuação. Exemplos. Regra da cadeia. Equação das ondas. Exemplos.
  • Aula 11: Teorema de Lagrange para campos escalares em R^n. Caminhos e vectores tangentes a caminhos. Relação de perpendicularidade entre o gradiente de um campo escalar e os seus conjuntos de nível. Exemplos.
  • Aula 12: Exemplos de superfícies de nível em R^3 (usando coordenadas cilíndricas) e determinação da recta normal e plano tangente num ponto. Derivadas parciais de ordem superior. Exemplos. Teorema de Schwarz.
  • Aula 13: Fórmula de Taylor para campos escalares em R^n. Exemplo.
  • Aula 14: Condição necessária para um campo escalar diferenciável ter um extremo local num ponto interior ao seu domínio. Pontos críticos. Pontos em sela. Exemplos.
  • Aula 15: Matriz Hessiana. Critérios de 2ªordem, necessários e suficientes, para a existência de um extremo local num ponto crítico de um campo escalar. Relação com os valores próprios da Hessiana. Exemplos.
  • Aula 16: Continuação. Exemplos. Introdução ao cálculo integral em R^n.
  • Aula 17: Intervalos em R^n. Partições finitas de intervalos compactos. Funções em escada. Integral de uma função em escada num intervalo compacto em R^n. Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto em R^n.
  • Aula 18: Teorema de Fubini. Exemplo.
  • Aula 19: Continuação. Exemplos. (Região no plano; pirâmide em R^3; sólido com simetria cilíndrica.)
  • Aula 20: Continuação. Exemplo. (Sólido limitado por superfícies quadráticas.)
  • Aula 21: Condição necessária e suficiente de integrabiliadde de uma função limitada num intervalo compacto. Funções limitadas descontínuas apenas ao longo de gráficos de funções contínuas são integráveis. Regiões x_j-simples e regiões simples em R^n. Integrabilidade das funções limitadas e contínuas no interior de uma região simples.
  • Aula 22: Aplicações: volume, massa, centro de massa, momento de inércia, centróide. Introdução à fórmula de mudança de variáveis de integração. Jacobiano.
  • Aula 23: Teorema de mudança de variáveis de integração. Exemplo. Coordenadas polares em R^2 e cilíndricas em R^3.
  • Aula 24: Coordenadas esféricas em R^3. Exemplos de aplicação da fórmula de mudança de variáveis de integração.
  • Aula 25: Regra de Leinbiz. Exemplos. Revisão: Exemplo de aplicação do teorema de Fubini.
  • Aula 26: Teorema da função inversa.
  • Aula 27: Continuação. Exemplos. Introdução ao teorema da função implícita.
  • Aula 28: Continuação. Enunciado e demonstração do teorema da função implícita a partir do teorema da função inversa.
  • Aula 29: Continuação. Exemplos, incluindo o cálculo das derivadas da função implícita.
  • Aula 30: Variedades diferenciais em R^n. Variedades são descritas localmente por gráficos. Espaço normal e espaço tangente. Exemplos.
  • Aula 31: Aula de revisões.
  • Aula 32: Extremos condicionados. Método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.
  • Aula 33: Continuação. Exemplos. Parametrizações. Parametrizações e espaço tangente.
  • Aula 34: Aula de revisões/dúvidas. (Dado o número reduzido de alunos presentes devido à greve geral.)
  • Aula 35: Continuação. Um subconjunto de R^n é uma variedade sse é localmente parametrizável. Exemplos.
  • Aula 36: Volume-k de um paralelipípedo-k em R^n. Integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n. Independência do integral relativamente à parametrização.
  • Aula 37: Volume-k, massa, centro de massa, centróide e momento de inércia de uma variedade-k em R^n. Exemplos. Integrais que dependem da parametrização a menos de sinal: introdução.
  • Aula 38: Integral de linha de um campo vectorial. Trabalho. Independência, a menos de sinal, da parametrização. Trabalho de uma força constante. Campos vectoriais conservativos. Conservação da energia mecânica.
  • Aula 39: Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Potencial gravítico de Newton. Condições necessárias e suficientes para um campo vectorial ser conservativo. Campos fechados.
  • Aula 40: Exemplo de campo fechado que não é conservativo no seu domínio. Exemplo de campo radial e de cálculo do potencial.
  • Aula 41: Teorema de Green no plano. Exemplos (incluindo o cálculo de áreas e exemplos com campos vectoriais fechados no plano).
  • Aula 42: Homotopia de caminhos fechados. Conjuntos simplesmente conexos. Exemplos. Invariância por homotopia do integral de linha de um campo vectorial fechado ao longo de um caminho fechado. Num conjunto simplesmente conexo um campo vectorial é conservativo sse é fechado. Exemplos.
  • Aula 43: Continuação. Exemplos.
  • Aula 44: Teorema da divergência em R^n. Fluxo de um campo vectorial através de uma hipersuperfície no sentido de uma normal. Exemplo.
  • Aula 45: Continuação. Equivalência com o teorema de Green no plano no caso n=2. Exemplos. Significado geométrico e físico da divergência. Orientação de variedades-2 em R^3.
  • Aula 46: Orientação consistente no bordo de uma superfície em R^3 induzida por uma normal. Rotacional de um campo vectorial em R^3. A divergência de um rotacional é zero. Teorema de Stokes. Exemplos (incluindo o facto de o trabalho de um campo fechado em R^3 ser o mesmo ao longo de dois caminhos fechados homotópicos).
  • Aula 47: Interpretação geométrica e física do rotacional. Potenciais vectores. Condições necessárias e suficientes para a existência de potencial vector. Exemplos.
  • Aula 48: O fluxo de um rotacional através de uma superfície fechada em R^3 é nulo. Resolução de exercícios.
  • Aula 49: Equações de Maxwell. Equação da continuidade em mecânica dos fluidos e electromagnetismo. Resolução de exercícios.
  • Aula 50: Resolução de exercícios.
  • Aula 51: Resolução de exercícios.
  • Aula 52: Resolução de exercícios.
  • Aula 53: Resolução de exercícios.
  • Aula 54: Resolução de exercícios.
  • Aula 55: Resolução de exercícios.
  • (Última alteração em 21 de Dezembro de 2012)