Cálculo Diferencial e Integral II 2ºSemestre 2007/08
Sumários das aulas teóricas LMAC,MEBiom,MEFT
Aula 1: (25/02/08) Funcionamento da cadeira. Introdução ao programa. Exemplos de campos escalares e campos vectoriais e suas representações gráficas.
Aula 2: (26/02/08) Topologia em R^n. Bolas abertas em R^n. Pontos interiores,
exteriores e fronteiros a um conjunto em R^n. Conjuntos abertos e fechados. Exemplos.
Sucessões em R^n. Exemplos. Limites de sucessões em R^n. Exemplos.
Aula 3: (28/02/08) Teorema de Bolzano-Weierstrass. Caracterização de conjuntos fechados e de conjuntos compactos em termos de sucessões.
Continuidade num ponto de uma função f:R^n-> R^m. Exemplos.
Aula 4: (29/02/08) Limite dos valores de uma função num ponto
fronteiro ao seu domínio. Exemplos. Limites direccionais. Exemplos.
Coordenadas polares em R^2.
Aula 5: (03/03/08) Continuação. Exemplos. Teorema de Weierstrass. Introdução ao
teorema do valor intermédio para campos escalares em R^n. Conjuntos separados e
conjuntos conexos.
Aula 6: (03/03/08) Continuação. Exemplos. Teorema do valor intermédio para
um campo escalar contínuo em R^n. Diferenciabilidade num ponto de uma função R^n->R^m.
Uma função diferenciável em a é contínua em a.
Aula 7: (04/03/08) Derivadas segundo um vector. Exemplos. Derivadas parciais.
Derivadas de uma função diferenciável segundo um vector. Matriz Jacobiana. Exemplos.
Aula 8: (04/03/08) Continuação. Exemplos. Exemplo de função não
diferenciável na origem mas com derivadas parciais nesse ponto.
Condições suficientes de diferenciabilidade: funções de classe C^1 são diferenciáveis.
Aula 9: (06/03/08) Continuação. Exemplos. Gradiente de um campo escalar e
direcção de crescimento máximo. Exemplos. Regra de derivação da função composta. Exemplos.
Aula 10: (07/03/08) Continuação. Regra da cadeia. Exemplos.
Teorema de Lagrange para campos escalares em R^n. Conjuntos de nível de campos
escalares em R^n. Caminhos. Exemplos.
Aula 11: (07/03/08) Continuação.
Caminhos e vectores tangentes a caminhos. Perpendicularidade entre gradiente
e conjuntos de nível. Exemplos. Exemplos de superfícies de nível em R^3
(usando coordenadas cilíndricas) e de cálculo de recta normal e de plano tangente
num ponto.
Aula 12: (17/03/08) Derivadas parciais de ordem superior. Exemplos.
Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor para funções de variável real: revisão.
Fórmula de Taylor para um campo escalar em R^n: introdução.
Aula 13: (18/03/08) Fórmula de Taylor para um campo
escalar em R^n. Exemplo. Condição necessária para um campo escalar
diferenciável ter um extremo local num ponto interior ao seu domínio.
Aula 14: (27/03/08) Pontos críticos. Máximos locais, mínimos locais e pontos em sela.
Exemplos. Matriz Hessiana de um campo escalar e forma quadrática associada.
Critérios de segunda ordem para a existência de um extremo local num ponto crítico.
Aula 15: (28/03/08) Continuação: Critérios de 2ªordem, necessários e suficientes,
para que um campo escalar tenha um extremo num dado ponto crítico. Exemplos.
Relação com valores próprios da Hessiana. Exemplos.
Aula 16: (31/03/08) Teorema da função inversa. Exemplos.
Aula 17: (01/04/08) Exemplos. Introdução ao teorema da função implícita.
Aula 18: (03/04/08) Continuação. Demonstração (usando o teorema da função inversa) e
enunciado do teorema da função implícita.
Aula 19: (04/04/08) Exemplos de aplicação do teorema da
função implícita, incluindo cálculo das suas derivadas.
Introdução à ideia de variedade diferencial de dimensão m em R^n.
Aula 20: (07/04/08) Variedades diferenciais em R^n descritas localmente por
sistemas de equações e por gráficos. Espaço normal e espaço tangente. Exemplos.
Aula 21: (08/04/08) Continuação. Exemplos. Extremos condicionados e
método dos multiplicadores de Lagrange.
Aula 22: (10/04/08) Continuação. Exemplos.
Aula 23: (11/04/08) Parametrizações. Um subconjunto de R^n é uma variedade
sse é localmente parametrizável. Paremetrizações e espaço tangente. Exemplos.
Aula 24: (14/04/08) Continuação. Exemplos. Introdução ao cálculo integral em R^n.
Aula 25: (15/04/08) Intervalos em R^n. Partições finitas de intervalos compactos em R^n.
Funções em escada e integrais de funções em escada em intervalos compactos em R^n. Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto em R^n.
Aula 26: (17/04/08) Teorema de Fubini. Exemplos.
Aula 27: (18/04/08) Continuação. Exemplos.
Aula 28: (21/04/08) Conjuntos numeráveis. Exemplos, o
conjunto dos racionais é numerável, R não é numerável. Medida nula. Exemplos e propriedades.
Aula 29: (22/04/08) Continuação. Gráficos em R^(n+1) de funções contínuas
definidas em intervalos compactos de R^n têm medida nula. Critério de integrabilidade de Lebesgue.
Aula 30: (24/04/08) Integrais de funções limitadas em conjuntos limitados. Conjuntos
mensuráveis à Jordan. Funções contínuas e limitadas em conjuntos mensuráveis à Jordan são integráveis.
Aplicações: volume, massa, carga, centro de massa, centróide, momento de inércia. Introdução ao teorema de mudança de variáveis de integração em R^n.
Aula 31: (28/04/08) Transformações de coordenadas em R^n.
Teorema de mudança de variáveis de integração. Exemplos. Coordenadas polares e
coordenadas cilíndricas.
Aula 32: (29/04/08) Continuação e exemplos. Coordenadas esféricas em R^3. Introdução
aos integrais de campos escalares em variedades. Volumes-k de paralelipípedos-k em R^n.
Aula 33: (02/05/08) Continuação e exemplos. Definição de
integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n.
Aula 34: (05/05/08) Continuação. Teorema da independência do integral
relativamente à parametrização. Volume-k, massa ou carga, centro de massa e momento de
inércia de uma variedade-k em R^n. Exemplos.
Aula 35: (06/05/08) Integrais que dependem da parametrização a menos
de sinal: introdução. Integral de linha de um campo vectorial (trabalho). Dependência
da parametrização a menos de sinal. Trabalho de uma força constante. Forças
conservativas.
Aula 36: (08/05/08) Conservação da energia mecânica. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Potencial gravítico de Newton.
Aula 37: (09/05/08) Condições necessárias e suficientes para um
campo vectorial ser conservativo. Campos fechados. Exemplo de campo fechado
que não é conservativo. Exemplos.
Aula 38: (12/05/08) Homotopia de caminhos fechados. Conjuntos simplesmente conexos.
Exemplos. Invariância por homotopia do integral de linha de um campo vectorial
fechado ao longo de um caminho fechado.
Aula 39: (13/05/08) Num conjunto simplesmente conexo, um campo vectorial é
conservativo sse é fechado. Teorema de Green no plano. Exemplos.
Aula 40: (15/05/08) Exercícios de revisão. Conjuntos x_j-simples e conjuntos
simples em R^n.
Aula 41: (16/05/08) Campo de normais exteriores ao bordo de um aberto limitado por
uma variedade-(n-1) compacta em R^n. Teorema da divergência em R^n. Equivalência com o
teorema de Green no caso n=2. Exemplo.
Aula 42: (19/05/08) Continuação. Exemplos. Fluxo de um campo vectorial
através de uma hipersuperfície no sentido de uma normal. Interpretação
geométrica/física da divergência. Orientação de variedades-2 em R^3. Exemplos.
Aula 43: (20/05/08) Regra da mão direita e orientação consistente no bordo.
Rotacional de um campo vectorial. A divergência de um rotacional é nula. Teorema de Stokes
clássico. Exemplos.
Aula 44: (23/05/08) Continuação. Potenciais vectores. Condições necessárias e
condições suficientes para um campo vectorial ter um potencial vector. Exemplos.
Aula 45: (26/05/08) O fluxo de um rotacional através de uma superfície
fechada em R^3 é nulo. Equações de Maxwell. Equação da continuidade.
Aula 46: (27/05/08) Resolução de exercícios.
Aula 47: (29/05/08) Resolução de exercícios.
Aula 48: (02/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Tensores-k covariantes
anti-simétricos em R^n. Exemplos, base, dimensão, propriedades.
Aula 49: (03/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Continuação. Formas
diferenciais de grau k em R^n. Exemplos. Produto exterior e suas propriedades. Exemplos.
Derivada exterior. Exemplos. d^2=0.
Aula 50: (05/06/08) Aula p/ grupo de voluntários:
Forma-1 e forma-(n-1) associadas a um campo vectorial em R^n. Relação entre derivada exterior e gradiente, divergência e rotacional. Formas fechadas e formas exactas.
Lema de Poincaré. Relação com campos vectoriais
fechados versus conservativos e com a existência de potenciais vectores em R^3.
Aula 51: (06/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Pull-back de formas diferenciais.
Pull-back e forma de cálculo. Exemplos. Integral de uma forma-k numa região de R^k. O integral é
invariante, a menos de sinal, sob mudança de coordenadas.
Aula 52: (12/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Integral de uma forma diferencial
de grau k segundo uma parametrização numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n.
Indepêndencia do integral, a menos de sinal, da parametrização. Variedades orientáveis.
Exemplos: curvas, hipersuperfícies.
Aula 53: (12/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Formas de orientação e
orientação induzida no bordo de uma variedade orientável. Exemplos: curvas,
hipersuperfícies fechadas e superfícies em R^3. Teorema de Stokes generalizado.
Relação com o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, com o teorema
da divergência e com o teorema de Stokes clásico.
(Última alteração em 12 de Junho de 2008)