Aula 1: (25/02/08) Funcionamento da cadeira. Introdução ao programa. Exemplos de campos escalares e campos vectoriais e suas representações gráficas.

Aula 2: (26/02/08) Topologia em R^n. Bolas abertas em R^n. Pontos interiores, exteriores e fronteiros a um conjunto em R^n. Conjuntos abertos e fechados. Exemplos. Sucessões em R^n. Exemplos. Limites de sucessões em R^n. Exemplos.

Aula 3: (28/02/08) Teorema de Bolzano-Weierstrass. Caracterização de conjuntos fechados e de conjuntos compactos em termos de sucessões. Continuidade num ponto de uma função f:R^n-> R^m. Exemplos.

Aula 4: (29/02/08) Limite dos valores de uma função num ponto fronteiro ao seu domínio. Exemplos. Limites direccionais. Exemplos. Coordenadas polares em R^2.

Aula 5: (03/03/08) Continuação. Exemplos. Teorema de Weierstrass. Introdução ao teorema do valor intermédio para campos escalares em R^n. Conjuntos separados e conjuntos conexos.

Aula 6: (03/03/08) Continuação. Exemplos. Teorema do valor intermédio para um campo escalar contínuo em R^n. Diferenciabilidade num ponto de uma função R^n->R^m. Uma função diferenciável em a é contínua em a.

Aula 7: (04/03/08) Derivadas segundo um vector. Exemplos. Derivadas parciais. Derivadas de uma função diferenciável segundo um vector. Matriz Jacobiana. Exemplos.

Aula 8: (04/03/08) Continuação. Exemplos. Exemplo de função não diferenciável na origem mas com derivadas parciais nesse ponto. Condições suficientes de diferenciabilidade: funções de classe C^1 são diferenciáveis.

Aula 9: (06/03/08) Continuação. Exemplos. Gradiente de um campo escalar e direcção de crescimento máximo. Exemplos. Regra de derivação da função composta. Exemplos.

Aula 10: (07/03/08) Continuação. Regra da cadeia. Exemplos. Teorema de Lagrange para campos escalares em R^n. Conjuntos de nível de campos escalares em R^n. Caminhos. Exemplos.

Aula 11: (07/03/08) Continuação. Caminhos e vectores tangentes a caminhos. Perpendicularidade entre gradiente e conjuntos de nível. Exemplos. Exemplos de superfícies de nível em R^3 (usando coordenadas cilíndricas) e de cálculo de recta normal e de plano tangente num ponto.

Aula 12: (17/03/08) Derivadas parciais de ordem superior. Exemplos. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor para funções de variável real: revisão. Fórmula de Taylor para um campo escalar em R^n: introdução.

Aula 13: (18/03/08) Fórmula de Taylor para um campo escalar em R^n. Exemplo. Condição necessária para um campo escalar diferenciável ter um extremo local num ponto interior ao seu domínio.

Aula 14: (27/03/08) Pontos críticos. Máximos locais, mínimos locais e pontos em sela. Exemplos. Matriz Hessiana de um campo escalar e forma quadrática associada. Critérios de segunda ordem para a existência de um extremo local num ponto crítico.

Aula 15: (28/03/08) Continuação: Critérios de 2ªordem, necessários e suficientes, para que um campo escalar tenha um extremo num dado ponto crítico. Exemplos. Relação com valores próprios da Hessiana. Exemplos.

Aula 16: (31/03/08) Teorema da função inversa. Exemplos.

Aula 17: (01/04/08) Exemplos. Introdução ao teorema da função implícita.

Aula 18: (03/04/08) Continuação. Demonstração (usando o teorema da função inversa) e enunciado do teorema da função implícita.

Aula 19: (04/04/08) Exemplos de aplicação do teorema da função implícita, incluindo cálculo das suas derivadas. Introdução à ideia de variedade diferencial de dimensão m em R^n.

Aula 20: (07/04/08) Variedades diferenciais em R^n descritas localmente por sistemas de equações e por gráficos. Espaço normal e espaço tangente. Exemplos.

Aula 21: (08/04/08) Continuação. Exemplos. Extremos condicionados e método dos multiplicadores de Lagrange.

Aula 22: (10/04/08) Continuação. Exemplos.

Aula 23: (11/04/08) Parametrizações. Um subconjunto de R^n é uma variedade sse é localmente parametrizável. Paremetrizações e espaço tangente. Exemplos.

Aula 24: (14/04/08) Continuação. Exemplos. Introdução ao cálculo integral em R^n.

Aula 25: (15/04/08) Intervalos em R^n. Partições finitas de intervalos compactos em R^n. Funções em escada e integrais de funções em escada em intervalos compactos em R^n. Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto em R^n.

Aula 26: (17/04/08) Teorema de Fubini. Exemplos.

Aula 27: (18/04/08) Continuação. Exemplos.

Aula 28: (21/04/08) Conjuntos numeráveis. Exemplos, o conjunto dos racionais é numerável, R não é numerável. Medida nula. Exemplos e propriedades.

Aula 29: (22/04/08) Continuação. Gráficos em R^(n+1) de funções contínuas definidas em intervalos compactos de R^n têm medida nula. Critério de integrabilidade de Lebesgue.

Aula 30: (24/04/08) Integrais de funções limitadas em conjuntos limitados. Conjuntos mensuráveis à Jordan. Funções contínuas e limitadas em conjuntos mensuráveis à Jordan são integráveis. Aplicações: volume, massa, carga, centro de massa, centróide, momento de inércia. Introdução ao teorema de mudança de variáveis de integração em R^n.

Aula 31: (28/04/08) Transformações de coordenadas em R^n. Teorema de mudança de variáveis de integração. Exemplos. Coordenadas polares e coordenadas cilíndricas.

Aula 32: (29/04/08) Continuação e exemplos. Coordenadas esféricas em R^3. Introdução aos integrais de campos escalares em variedades. Volumes-k de paralelipípedos-k em R^n.

Aula 33: (02/05/08) Continuação e exemplos. Definição de integral de um campo escalar numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n.

Aula 34: (05/05/08) Continuação. Teorema da independência do integral relativamente à parametrização. Volume-k, massa ou carga, centro de massa e momento de inércia de uma variedade-k em R^n. Exemplos.

Aula 35: (06/05/08) Integrais que dependem da parametrização a menos de sinal: introdução. Integral de linha de um campo vectorial (trabalho). Dependência da parametrização a menos de sinal. Trabalho de uma força constante. Forças conservativas.

Aula 36: (08/05/08) Conservação da energia mecânica. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Potencial gravítico de Newton.

Aula 37: (09/05/08) Condições necessárias e suficientes para um campo vectorial ser conservativo. Campos fechados. Exemplo de campo fechado que não é conservativo. Exemplos.

Aula 38: (12/05/08) Homotopia de caminhos fechados. Conjuntos simplesmente conexos. Exemplos. Invariância por homotopia do integral de linha de um campo vectorial fechado ao longo de um caminho fechado.

Aula 39: (13/05/08) Num conjunto simplesmente conexo, um campo vectorial é conservativo sse é fechado. Teorema de Green no plano. Exemplos.

Aula 40: (15/05/08) Exercícios de revisão. Conjuntos x_j-simples e conjuntos simples em R^n.

Aula 41: (16/05/08) Campo de normais exteriores ao bordo de um aberto limitado por uma variedade-(n-1) compacta em R^n. Teorema da divergência em R^n. Equivalência com o teorema de Green no caso n=2. Exemplo.

Aula 42: (19/05/08) Continuação. Exemplos. Fluxo de um campo vectorial através de uma hipersuperfície no sentido de uma normal. Interpretação geométrica/física da divergência. Orientação de variedades-2 em R^3. Exemplos.

Aula 43: (20/05/08) Regra da mão direita e orientação consistente no bordo. Rotacional de um campo vectorial. A divergência de um rotacional é nula. Teorema de Stokes clássico. Exemplos.

Aula 44: (23/05/08) Continuação. Potenciais vectores. Condições necessárias e condições suficientes para um campo vectorial ter um potencial vector. Exemplos.

Aula 45: (26/05/08) O fluxo de um rotacional através de uma superfície fechada em R^3 é nulo. Equações de Maxwell. Equação da continuidade.

Aula 46: (27/05/08) Resolução de exercícios.

Aula 47: (29/05/08) Resolução de exercícios.

Aula 48: (02/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Tensores-k covariantes anti-simétricos em R^n. Exemplos, base, dimensão, propriedades.

Aula 49: (03/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Continuação. Formas diferenciais de grau k em R^n. Exemplos. Produto exterior e suas propriedades. Exemplos. Derivada exterior. Exemplos. d^2=0.

Aula 50: (05/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Forma-1 e forma-(n-1) associadas a um campo vectorial em R^n. Relação entre derivada exterior e gradiente, divergência e rotacional. Formas fechadas e formas exactas. Lema de Poincaré. Relação com campos vectoriais fechados versus conservativos e com a existência de potenciais vectores em R^3.

Aula 51: (06/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Pull-back de formas diferenciais. Pull-back e forma de cálculo. Exemplos. Integral de uma forma-k numa região de R^k. O integral é invariante, a menos de sinal, sob mudança de coordenadas.

Aula 52: (12/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Integral de uma forma diferencial de grau k segundo uma parametrização numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n. Indepêndencia do integral, a menos de sinal, da parametrização. Variedades orientáveis. Exemplos: curvas, hipersuperfícies.

Aula 53: (12/06/08) Aula p/ grupo de voluntários: Formas de orientação e orientação induzida no bordo de uma variedade orientável. Exemplos: curvas, hipersuperfícies fechadas e superfícies em R^3. Teorema de Stokes generalizado. Relação com o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, com o teorema da divergência e com o teorema de Stokes clásico.