Aula 1: (02/03/09) Funcionamento da cadeira. Introdução ao programa. Exemplos de campos escalares e campos vectoriais e suas representações gráficas.

Aula 2: (03/03/09) Topologia em R^n. Bolas abertas em R^n. Pontos interiores, exteriores e fronteiros a um conjunto em R^n. Conjuntos abertos e fechados. Exemplos. Sucessões em R^n. Exemplos. Limites de sucessões em R^n. Exemplos.

Aula 3: (05/03/09) Teorema de Bolzano-Weierstrass. Caracterização de conjuntos fechados e de conjuntos compactos em termos de sucessões. Continuidade num ponto de uma função f:R^n-> R^m. Exemplos.

Aula 4: (06/03/09) Continuidade da função composta.

Aula 5: (09/03/09) Exemplos. Limite num ponto dos valores de uma função. Exemplos.

Aula 6: (10/03/09) Limites direccionais. Exemplos. Coordenadas polares em R^2. Exemplos. Teorema de Weierstrass.

Aula 7: (12/03/09) Conjuntos separados e conjuntos conexos. Exemplos. Teorema do valor intermédio para campos escalares em R^n. Introdução à noção de diferenciabilidade em R^n.

Aula 8: (13/03/09) Diferenciabilidade num ponto de uma função R^n->R^m. Uma função diferenciável em a é contínua em a. Derivadas segundo um vector. Exemplos. Derivadas parciais.

Aula 9: (16/06/09) Derivadas de uma função diferenciável segundo um vector. Matriz Jacobiana. Exemplos. Exemplo de função não diferenciável na origem mas com derivadas parciais nesse ponto. Condições suficientes de diferenciabilidade: funções de classe C^1 são diferenciáveis. Exemplos. Gradiente de um campo escalar.

Aula 10: (17/03/09) Gradiente e direcção de crescimento máximo de um campo escalar. Derivada da função composta. Regra da cadeia. Exemplos. Equação das ondas.

Aula 11: (19/03/09) Continuação. Exemplos. Teorema de Lagrange para campos escalares em R^n. Perpendicularidade entre gradiente e conjuntos de nível de um campo escalar em R^n.

Aula 12: (20/03/09) Continuação e exemplos. Derivadas parciais de ordem superior. Exemplos. Funções de classe C^k.

Aula 13: (23/03/09) Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor para campos escalares em R^n. Exemplo.

Aula 14: (24/03/09) Extremos. Condição necessária para um campo escalar diferenciável ter um extremo num ponto interior ao seu domínio. Pontos críticos. Exemplos de máximo local, mínimo local e ponto em sela. Exemplos. Introdução aos critérios de 2ª ordem para a classificação de pontos críticos.

Aula 15: (26/03/09) Critérios de 2ª ordem, necessários e suficientes, para a classificação de pontos críticos. Exemplos.

Aula 16: (27/03/09) Teorema da função inversa.

Aula 17: (30/03/09) Exemplos.

Aula 18: (31/03/09) Introdução, demonstração usando o teorema da função inversa e enunciado do teorema da função implícita.

Aula 19: (02/04/09) Exemplos, incluindo cálculo das derivadas da função implícita.

Aula 20: (03/04/09) Variedades diferenciais em R^n descritas através de sistemas de equações e através de gráficos. Espaço normal e espaço tangente. Exemplo.

Aula 21: (06/04/09) Exemplos. Introdução aos extremos condicionados.

Aula 22: (07/04/09) Método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.

Aula 23: (16/04/09) Continuação. Exemplos. Parametrizações. Exemplos.

Aula 24: (17/04/09) Continuação. Um subconjunto de R^n é uma variedade sse é localmente parametrizável. Exemplos.

Aula 25: (20/04/09) Introdução ao cálculo integral em R^n. Intervalos, partições finitas e funções em escada. Integral de uma função em escada num intervalo compacto em R^n. Integral de Riemann de uma função limitada num intervalo compacto em R^n.

Aula 26: (21/04/09) Teorema de Fubini. Exemplos.

Aula 27: (23/04/09) Continuação. Exemplos. Conjuntos numeráveis. Exemplos.

Aula 28: (24/04/09) Continuação. Numerabilidade dos racionais e inumerabilidade dos reais. Medida nula. Exemplos e propriedades de subconjuntos de medida nula em R^n.

Aula 29: (27/04/09) Continuação. Gráficos de funções contínuas definidas em conjuntos compactos têm medida nula. Exemplos. Critério de integrabilidade de Lebesgue. Integrais de funções limitadas em conjuntos limitados. Conjuntos mensuráveis à Jordan. Funções contínuas e limitadas em conjuntos mensuráveis à Jordan são integráveis à Riemann.

Aula 30: (28/04/09) Aplicações ao cálculo de volume, massa, centro de massa, centróide e momento de inércia. Transformações de coordenadas em R^n. Introdução ao teorema de mudança de variáveis de integração.

Aula 31: (30/04/09) Teorema de mudança de variáveis de integração. Exemplos. Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas. Exemplos.

Aula 32: (04/05/09) Continuação. Exemplos. Volumes-k de paralelipípedos-k em R^n.

Aula 33: (05/05/09) Integrais de campos escalares em variedades: introdução, definição e independência da parametrização.

Aula 34: (07/05/09) Continuação. Exemplos incluindo volume-k, massa ou carga, centro de massa e momento de inércia de uma variedade-k em R^n. Integrais que dependem da parametrização a menos de sinal: introdução.

Aula 35: (08/05/09) Integrais de linha de campos vectoriais: definição e independência, a menos de sinal, da parametrização. Trabalho de uma força constante.

Aula 36: (11/05/09) Conservação da energia mecânica. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha. Exemplos. Potencial gravítico de Newton.

Aula 37: (12/05/09) Condições necessárias e suficientes para um campo vectorial ser conservativo. Campos fechados. Exemplo de campo fechado que não é conservativo. Exemplos.

Aula 38: (14/05/09) Homotopia de caminhos fechados. Conjuntos simplesmente conexos. Exemplos. Invariância por homotopia do integral de linha de um campo vectorial fechado ao longo de um caminho fechado.

Aula 39: (15/05/09) Num comjunto simplesmente conexo um campo vectorial é conservativo sse é fechado. Exemplos. Teorema de Green no plano.

Aula 40: (18/05/09) Continuação. Exemplos. Conjuntos x_j simples e conjuntos simples em R^n. Campo de normais exteriores ao bordo de um aberto limitado por uma variedade-(n-1) compacta em R^n.

Aula 41: (19/05/09) Teorema da divergência em R^n. Equivalência com o teorema de Green no caso n=2. Exemplo.

Aula 42: (21/05/09) Continuação. Exemplos. Significado geométrico/físico da divergência. Orientação de superfícies em R^3.

Aula 43: (22/05/09) Continuação. Exemplos. Regra da mão direita e orientação consistente no bordo. Rotacional de um campo vectorial. A divergência de um rotacional é nula. Teorema de Stokes clássico. Exemplos.

Aula 44: (25/05/09) Continuação. Potenciais vectores. Condições necessárias e condições suficientes para um campo vectorial ter um potencial vector. Exemplos.

Aula 45: (26/05/09) O fluxo de um rotacional através de uma superfície fechada em R^3 é nulo. Equações de Maxwell. Equação da continuidade.

Aula 46: (28/05/09) Resolução de exercícios.

Aula 47: (29/05/09) Resolução de exercícios.

Aula 48: (01/06/09) Aula p/ grupo de voluntários: Tensores-k covariantes anti-simétricos em R^n. Exemplos e algumas propriedades.

Aula 49: (02/06/09) Aula p/ grupo de voluntários: Continuação. Tensores-k covariantes anti-simétricos em R^n: base, dimensão, exemplos e propriedades. Formas diferenciais de grau k em R^n. Exemplos. Produto exterior e propriedades. Exemplos. Derivada exterior. Exemplos.

Aula 50: (04/06/09) Aula p/ grupo de voluntários: Continuação. d^2=0. Forma-1 e forma-(n-1) associadas a um campo vectorial em R^n. Relação entre derivada exterior e gradiente, divergência e rotacional. Formas fechadas e formas exactas. Lema de Poincaré. Relação com campos vectoriais fechados versus conservativos e com a existência de potenciais vectores em R^3.

Aula 51: (05/06/09) Aula p/ grupo de voluntários: Pull-back de formas diferenciais e o seu cálculo explícito. Exemplos. Integral de uma forma-k numa região de R^k. Invariância, a menos de sinal, do integral sob mudança de coordenadas.

Aula 52: (08/06/09) Aula p/ grupo de voluntários: Integral de uma forma diferencial de grau k segundo uma parametrização numa vizinhança de coordenadas de uma variedade-k em R^n. Indepêndencia do integral, a menos de sinal, da parametrização. Variedades orientáveis. Exemplos: curvas e relação com o cálculo do trabalho, hipersuperfícies.

Aula 53: (09/06/09) Aula p/ grupo de voluntários: Formas de orientação e orientação induzida no bordo de uma variedade orientável. Exemplos: curvas, hipersuperfícies fechadas e superfícies em R^3. Teorema de Stokes generalizado. Exemplos. Relação com o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, com o teorema da divergência e com o teorema de Stokes clásico.

Aula 54: (12/06/09) Aula de dúvidas.