Aula 1: (17/09/07) Introdução. Revisão de espaços topológicos. Variedades topológicas.

Aula 2: (18/09/07) Continuação. Variedades topológicas com bordo. Exemplos: manipulações com o espaço projectivo de dimensão 2, a banda de Mobius, o torus, etc.

Aula 3: (20/09/07) Variedades diferenciais. Parametrizações, cartas locais, mudanças de coordenadas, atlas, atlas maximais. Exemplos.

Aula 4: (24/09/07) Aplicações diferenciáveis entre variedades. Exemplos. Difeomorfismos. Exemplos. Revisão de espaço tangente num ponto a uma variedade mergulhada em R^n. Vectores tangentes como operadores de derivação. Definição de vector tangente num ponto a uma variedade diferencial.

Aula 5: (25/09/07) Base do espaço tangente num ponto associada a uma escolha de coordenadas locais. Transformação de coordenadas. Exemplos.

Aula 6: (27/09/07) Fibrado tangente. Aplicacão tangente de uma aplicação diferenciável entre variedades. Exemplos.

Aula 7: (1/10/07) Imersões. Submersões. Mergulhos. Exemplos. Forma "normal" local de uma imersão e de uma submersão.

Aula 8: (2/10/07) Continuação. Teorema do valor regular. Exemplos. Enunciado do teorema do mergulho de Whitney. Exemplo. Campos vectoriais como secções do fibrado tangente. Trivialização local do fibrado tangente TM associada à escolha de coordenadas locais em M.

Aula 9: (4/10/07) Comutador de campos vectoriais. Propriedades. Exemplos. Relação entre associatividade e identidade de Jacobi. Regra de Leibniz. Exemplos. Álgebras de Lie. Exemplo. Push-forward de um campo vectorial por um difeomorfismo. Definção de curva integral de um campo vectorial.

Aula 10: (8/10/07) Existência e unicidade de curvas integrais de um campo vectorial. Fluxos. Exemplos. Campos completos. Grupos a 1 parâmetro de difeomorfismos de M. Exemplos. Campos vectoriais com suporte compacto são completos. Derivada de Lie de uma função ao longo de um campo vectorial.

Aula 11: (9/10/07) Igualdade entre a derivada de Lie de Y ao longo de X e [X,Y]. L_X como derivação da álgebra de Lie de campos vectoriais. Relação entre o comutador de campos vectoriais e a operação de push-forward. Difeomorfismos de M que preservam o fluxo de X preservam X.

Aula 12: (11/10/07) Difeomorfismos de M preservam X sse preservam o fluxo de X. Campos vectoriais em M comutam sse os seus fluxos comutam. Exemplos. Grupos de Lie. Exemplos: grupo linear geral e linear especial, U(1), grupo ortogonal.

Aula 13: (15/10/07) Continuação. Exemplos. Campos invariantes à esquerda. Exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Exemplos. Trivialidade do fibrado tangente de um grupo de Lie.

Aula 14: (16/10/07) Aplicação exponencial e subgrupos a 1 parâmetro de um grupo de Lie. Exemplos. Acções de grupos de Lie em variedades. Exemplos. Acções próprias. Exemplos. Condição suficiente para o espaço quociente ser Hausdorff.

Aula 15: (18/10/07) Acções próprias e livres de grupos de Lie em variedades têm espaços quociente que são variedades. Exemplos. Revestimentos. Exemplos. Grupo fundamental. Revestimentos universais. Exemplos. Enunciado do teorema de Lie. Exemplos.

Aula 16: (22/10/07) O revestimento duplo de SO(3) por SU(2). Orientações. Uma variedade conexa tem duas orientações. Transporte da orientação num ponto ao longo de um caminho.

Aula 17: (23/10/07) Uma variedade é orientável sse a orientação num ponto é preservada por transporte ao longo de geradores do grupo fundamental. Exemplo: a banda de Mobius. Variedades diferenciais com bordo. Orientação induzida no bordo. Tensores-k num espaço vectorial. Produto tensorial.

Aula 18: (24/10/07) Tensores alternantes. A operação Alt. Produto exterior e base do espaço dos tensores-k alternantes. Exemplos. Pull-back de covectores-k. Campos tensoriais diferenciáveis em variedades.

Aula 19: (29/10/07) Formas diferenciais em variedades. Propriedades. Pull-back e cálculo do pull-back. Derivada exterior e propriedades.

Aula 20: (30/10/07) Partições da unidade. Integrais de formas diferenciais em variedades orientadas. Exemplos. Teorema de Stokes.

Aula 21: (05/11/07) Continuação e exemplos. Formas de volume. Aplicações: orientabilidade de RP^n e teorema do ponto fixo de Brouwer.

Aula 22: (06/11/07) Introdução. Métricas e variedades Riemannianas. Métricas induzidas por uma imersão. Exemplos. Métricas invariantes à esquerda num grupo de Lie. Exemplos. Comprimento de uma curva numa variedade Riemanniana.

Aula 23: (08/11/07) Formas de volume Riemanniano. Isomorfismo entre espaços tangente e cotangente num ponto de uma variedade Riemanniana. O gradiente. Conexões afins: introdução, definição, conexão trivial em R^n, símbolos de Cristoffel.

Aula 24: (12/11/07) Campo vectorial paralelo ao longo de uma curva. Geodésicas. Exemplo. Transporte paralelo. Torsão e conexões simétricas.

Aula 25: (13/11/07) Teorema e conexão de Levi-Civita. Fórmula de Koszul. Exemplos. Conexão de Levi-Civita numa subvariedade. Exemplos.

Aula 26: (15/11/07) Homogeneidade das geodésicas. A aplicação exponencial. Vizinhanças normais, bolas normais, superfícies normais. Caracterização das vizinhanças normais de p em termos de geodésicas que emanam de p.

Aula 27: (19/11/07) Vizinhanças totalmente normais. Curvas de comprimento mínimo que unem dois pontos de uma variedade Riemanniana são geodésicas reparametrizadas. Variedades Riemannianas como espaços métricos. Variedades geodesicamente completas.

Aula 28: (20/11/07) Teorema de Hopf-Rinow. Deformações de geodésicas, equação de Jacobi e campos de Jacobi.

Aula 29: (22/11/07) Continuação: Pontos conjugados e campos de Jacobi. Curvatura, campos de Jacobi e o afastamento de geodésicas que emanam de p. Curvatura. Tensor de Riemann-Cristoffel. Primeira identidade de Bianchi. Tensor da curvatura.

Aula 30: (26/11/07) Simetrias ds tensor da curvatura. Curvatura seccional. Isotropia. O tensor da curvatura de uma variedade isotrópica. Tensor de Ricci. Curvatura escalar. Referenciais móveis de Cartan. Formas de conexão.

Aula 31: (27/11/07) Formas de curvatura. Equações de estrutura de Cartan para a conexão de Levi-Civita. Exemplos. Relação entre a forma de curvatura e a curvatura seccional para superfícies. Fórmula de transformação das formas de conexão sob mudança de referencial móvel, caso de dimensão 2.

Aula 32: (28/11/07) Curvatura de Gauss e holonomia. Curvatura geodésica e raio de curvatura de uma curva. Exemplos. Soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico e curvatura de Gauss. Introdução ao teorema de Gauss-Bonnet: singularidades isoladas de um campo vectorial; índice de um campo vectorial numa singularidade; exemplos.

Aula 33: (03/12/07) Teorema de Gauss-Bonnet. Exemplos.

Aula 34: (04/12/07) Variedades Riemannianas de curvatura constante. Exemplos e Teorema de Killing-Hopf. Teorema de Schur.

Aula 35: (06/12/07) Imersões isométricas. Segunda forma fundamental. Curvaturas e direcções principais. Aplicação de Gauss. Relação da geometria extrínseca com a curvatura seccional através da segunda forma fundamental. Exemplos. Teorema egregium de Gauss. Exemplos.