Geometria Riemanniana
1ºSemestre 2008/09

Prof. João Pimentel Nunes

Sumários

  • Aula 1: (15/09/08) Funcionamento da cadeira. Espaços topológicos: introdução/revisão.
  • Aula 2: (16/09/08) Continuação e exemplos. Variedades topológicas. Exemplos. Toro e garrafa de Klein.
  • Aula 3: (18/09/08) Continuação, plano projectivo real. Variedades topológicas com bordo. Exemplo, banda de Mobius e cilindro. Colagens com bandas de Mobius. Soma conexa. Enunciado do teorema de classificação de superfícies. A característica de Euler de uma superfície.
  • Aula 4: (22/09/08) Variedades diferenciais. Parametrizações, cartas locais, mudanças de coordenadas, atlas, atlas maximais. Exemplos.
  • Aula 5: (23/09/08) Continuação. Aplicações diferenciáveis entre variedades. Exemplos. Difeomorfismos.
  • Aula 6: (25/09/08) Exemplos. Revisão de espaço tangente num ponto a uma variedade mergulhada em R^n. Vectores tangentes como operadores de derivação. Definição de vector tangente num ponto a uma variedade diferencial. Base do espaço tangente num ponto associada a uma escolha de coordenadas locais. Transformação de coordenadas. Exemplos.
  • Aula 7: (29/09/08) O fibrado tangente a uma variedade diferencial. Aplicação tangente. Exemplos.
  • Aula 8: (30/09/08) Imersões, submersões e mergulhos. Forma "normal" local de uma imersão e de uma submersão.
  • Aula 9: (02/10/08) Continuação. Teorema do valor regular. Pontos críticos. Exemplos. Campos vectoriais. O comutador de dois campos vectoriais.
  • Aula 10: (06/10/08) Comutador de campos vectoriais. Propriedades. Exemplos. Relação entre associatividade e identidade de Jacobi. Regra de Leibniz. Exemplos. Álgebras de Lie. Exemplos.
  • Aula 11: (07/10/08) Definção de curva integral de um campo vectorial. Existência e unicidade de curvas integrais de um campo vectorial. Fluxos. Exemplos. Campos completos. Grupos a 1 parâmetro de difeomorfismos de M. Exemplos. Campos vectoriais com suporte compacto são completos.
  • Aula 12: (09/10/08) Derivada de Lie de uma função ao longo de um campo vectorial. Igualdade entre a derivada de Lie de Y ao longo de X e [X,Y]. L_X como derivação da álgebra de Lie de campos vectoriais. Relação entre o comutador de campos vectoriais e a operação de push-forward. Difeomorfismos de M preservam X sse preservam o fluxo de X.
  • Aula 13: (13/10/08) Dois campos vectoriais comutam sse os seus fluxos comutam. Exemplos. Grupos de Lie. Exemplos: grupo linear geral, U(1), grupo ortogonal.
  • Aula 14: (14/10/08) Continuação. Exemplos. Campos invariantes à esquerda. Exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Exemplos.
  • Aula 15: (16/10/08) Exemplos. Trivialidade do fibrado tangente de um grupo de Lie. Aplicação exponencial e subgrupos a 1 parâmetro de um grupo de Lie. Exemplos. Acções de grupos de Lie em variedades.
  • Aula 16: (20/10/08) Noções de: acção transitiva, grupo de isotropia de um ponto, espaço homogéneo, e acção livre. Acções próprias. Exemplo de acção não própria cujo espaço quociente não é Hausdorff. Acções próprias de grupos de Lie em variedades têm espaços quociente Hausdorff.
  • Aula 17: (21/10/08) Acções próprias e livres de grupos de Lie em variedades têm espaços quociente que são variedades. Exemplos. Revestimentos. Exemplos. Grupo fundamental. Revestimentos universais. Exemplos.
  • Aula 18: (23/10/08) Enunciado do teorema de Lie. Exemplos. O revestimento duplo de SO(3) por SU(2). Orientações. Uma variedade conexa tem duas orientações. Transporte da orientação num ponto ao longo de um caminho.
  • Aula 19: (27/10/08) Uma variedade é orientável sse a orientação num ponto é preservada por transporte ao longo de geradores do grupo fundamental. Exemplo: a banda de Mobius. Variedades diferenciais com bordo.
  • Aula 20: (28/10/08) Orientação induzida no bordo. Exemplos. Tensores covariantes de grau-k. Produto tensorial. Exemplos.
  • Aula 21: (30/10/08) Tensores alternantes. A operação Alt. Produto exterior e base do espaço dos tensores-k alternantes. Exemplos. Pull-back de covectores-k. Campos tensoriais diferenciáveis em variedades. Formas diferenciais em variedades.
  • Aula 22: (03/11/08) O diferencial de uma função. Pull-back. Propriedades. Exemplos.
  • Aula 23: (04/11/08) Derivada exterior e propriedades. Partições da unidade. Integrais de formas diferenciais em variedades orientadas.
  • Aula 24: (06/11/08) Exemplos. Teorema de Stokes. Exemplos. Formas de volume.
  • Aula 25: (10/11/08) Aplicações: orientabilidade de RP^n e teorema do ponto fixo de Brouwer. Geomteria Riemanniana: Introdução. Métricas e variedades Riemannianas.
  • Aula 26: (11/11/08) Métricas e variedades Riemannianas. Métricas induzidas por uma imersão. Exemplos. Métricas invariantes à esquerda num grupo de Lie. Exemplos. Comprimento de uma curva numa variedade Riemanniana. Formas de volume Riemanniano. Isomorfismo entre espaços tangente e cotangente num ponto de uma variedade Riemanniana. O gradiente.
  • Aula 27: (13/11/08) Conexões afins: introdução, definição, conexão trivial em R^n, símbolos de Cristoffel. Campo vectorial paralelo ao longo de uma curva. Geodésicas. Exemplo. Transporte paralelo. Torsão e conexões simétricas.
  • Aula 28: (17/11/08) Teorema e conexão de Levi-Civita. Fórmula de Koszul. Exemplos. Conexão de Levi-Civita numa subvariedade.
  • Aula 29: (18/11/08) Exemplos. Homogeneidade das geodésicas. A aplicação exponencial. Vizinhanças normais.
  • Aula 30: (20/11/08) Bolas normais, superfícies normais. Caracterização das vizinhanças normais de p em termos de geodésicas que emanam de p. Vizinhanças totalmente normais. Curvas de comprimento mínimo que unem dois pontos de uma variedade Riemanniana são geodésicas reparametrizadas.
  • Aula 31: (24/11/08) Variedades geodesicamente completas. Teorema de Hopf-Rinow.
  • Aula 32: (25/11/08) Continuação. Deformações de geodésicas, equação de Jacobi e campos de Jacobi.
  • Aula 33: (27/11/08) Continuação: Pontos conjugados e campos de Jacobi. Curvatura, campos de Jacobi e o afastamento de geodésicas que emanam de p. Curvatura. Tensor de Riemann-Cristoffel. Primeira identidade de Bianchi. Tensor da curvatura. Simetrias ds tensor da curvatura.
  • Aula 34: (02/12/08) Curvatura seccional. Isotropia. O tensor da curvatura de uma variedade isotrópica. Tensor de Ricci. Curvatura escalar. Referenciais móveis de Cartan. Formas de conexão. Formas de curvatura. Equações de estrutura de Cartan para a conexão de Levi-Civita.
  • Aula 35: (04/12/08) Exemplos. Relação entre a forma de curvatura e a curvatura seccional para superfícies. Fórmula de transformação das formas de conexão sob mudança de referencial móvel, caso de dimensão 2. Curvatura de Gauss e holonomia. Curvatura geodésica e raio de curvatura de uma curva. Exemplos. Soma dos ângulos internos de um triângulo geodésico e curvatura de Gauss.
  • Aula 36: (09/12/08) Introdução ao teorema de Gauss-Bonnet: singularidades isoladas de um campo vectorial; índice de um campo vectorial numa singularidade; exemplos. Teorema de Gauss-Bonnet. Exemplos.
  • Aula 37: (11/12/08) Variedades Riemannianas de curvatura constante. Exemplos e Teorema de Killing-Hopf. Teorema de Schur. Imersões isométricas. Segunda forma fundamental. Curvaturas e direcções principais. Aplicação de Gauss.
  • Aula 38: (15/12/08) Relação da geometria extrínseca com a curvatura seccional através da segunda forma fundamental. Exemplos. Teorema egregium de Gauss. Exemplos.
  • Aula 39: (16/12/08) Resolução de exercícios.
  • Aula 40: (18/12/08) Resolução de exercícios.
  • (Última alteração em 18 de Dezembro de 2008)